Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Тогда уравнение прямой запишется в виде: Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru соединяет M0 с произвольной точкой М.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)

В качестве направляющего вектора можно задать вектор Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Следовательно:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru , тогда Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Угол между прямыми.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru ; Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru , перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru . При любом расположении точки М на плоскости Q Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru , поэтому Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru .

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Общее уравнение плоскости.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х11) М (х22) N (x3;y3)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru ; Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru ; Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая L: Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru и Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru .

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Найдем Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru , если Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru , т.к. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M0 (x0;y0;z0)

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru (где М1(x1;y1;z­1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

!!!Если плоскость задана уравнением:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

то расстояние до плоскости находится по формуле:

Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. - student2.ru

Наши рекомендации