Чётные и нечётные функции.

Функция у=f(х) называется чётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=f (x).	у=f(х) чётная Û "хÎD(y) Þ f(-х)=f (x)
Функция у=f(х) называется нечётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f (x).	у=f(х) нечётная Û "хÎD(y) Þ f(-х)=-f (x) или у=f(х) нечётная Û "хÎD(y) Þ f(х)=-f (-x)
Из определения следует, что область определения D(y) как чётной, так и нечётной функции должна обладать следующим свойством: если хÎD(y), то и -хÎD(y)(т. е. D(y) - симметричное относительно 0 множество).
Функция у=f(х) которая не является ни чётной, ни нечётной называется функцией общего вида.

Если функция является чётной, то её график симметричен относительно ________________________. Обратное утверждение _____________________.

Итак, функция является чётной тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно оси Оу.

Если функция является нечётной, то её график симметричен относительно ________________________. Обратное утверждение _____________________.

Итак, функция является нечётной тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно начала координат.

· Сумма чётных (нечётных) функций является чётной (нечётной) функцией.

· Произведение двух чётных или двух нечётных функций является чётной функцией.

· Произведение чётной и нечётной функции является нечётной функцией.

· Если функция f чётна (нечётна), то и функция ¹/_f чётна (нечётна).

Задание 1. Продолжите утверждение:

Известно, что функция f(x) – нечётная функция, причём в точке (х₀; f(х₀)) функция имеет минимум,и х₂<x₁<0, причём на интервале (х₂; х₁) функция возрастает.

функция f(x) в точке (-х₀; _____) имеет___________________;

функция f(x) в точке (-х₀; _____) имеет___________________;

функция f(x) на интервале______________________________;

Известно, что функция f(x) – чётная функция, причём в точке (х₀; f(х₀)) функция имеет минимум,и х₂>x₁>0, причём на интервале (х₁; х₂) функция возрастает.

функция f(x) в точке (-х₀; _____) имеет___________________;

функция f(x) в точке (-х₀; _____) имеет___________________;

функция f(x) на интервале______________________________;

Задание 2. Выберите среди предложенных функции, которые следует исследовать на чётность или нечётность:

№	Пример функции	Область определения

Задание 3. Какие из следующих функций чётные, какие нечётные, а какие функции общего вида:

№	Пример функции	Область определения	Вид функции

Задание 4. Выберите верные утверждения:

№	Утверждение	(+) (-)
	если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно начала координат
	если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно начала координат
	если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно начала координат
	если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно оси ординат
	если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно оси абсцисс
	если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно начала координат
	если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно начала координат
	если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат
	существуют функции, являющиеся одновременно чётными и нечётными
	не существует функций, являющихся одновременно чётными и нечётными

Периодические функции.

Функция у=f(х) называется периодической, если существует число Т¹0, такое, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х+Т)=f (x).

Число Т называется периодом функции. Если Т – период функции, то её периодом является также и число –Т. Обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Задание 5. Известно, что функция f(x) – периодическая функция с периодом T. Запишите к каждой функции соответствующие им периоды:

№	Функция	Период		№	Функция	Период
	f(2x)				f(4x)
	f(0,2x)				f(0,4x)
	f(0,5x)				f(0,25x)
	f(2+x)				f(3+x)
	f(-x)				f(-2x)
	f(2-x)				f(3-x)
	f(x+4)				f(x+2)
	f(2x-5)				f(4x+3)
	f(1,25x)				f(2,5x)
	f(4x)+f(3x)				f(2x)+f(3x)
	f(4x+2)-f(3x-1)				f(3x-2)-f(2x+1)
	f(4x)·f(0,25x)				f(5x)·f(0,2x)
	f(0,3x)/f(3x)				f(4x)/f(0,4x)
	f(-1,5x)+f(4x)				f(1,2x)+f(-5x)
	5f(1-4x)-f(0,2x)				2f(0,5x)-5f(2x)
	f(4x)·f(-x)				f(-x)·f(2-3x)
	2f(0,1x)/f(3x)				3f(0,4x)/f(2x)
	f(0,5x)+3f(0,6x)				f(0,3x)+2f(-0,2x)
	f(x)-2f(3x)				f(4x)-4f(x)
	f(4x)·f(0,3x)				3f(0,5x)·f(5x)

Задание 6. Построить в полярной системе координат:

j ° r                   j ° r

j ° r                   j ° r

Задание 7. Соотнести функции и построенные графики:

Задание 8. Построить в прямоугольной декартовой системе координат функцию заданную параметрически:

t° x                   y                   t° x                 y

Задание 9. Соотнести функции и построенные графики:

Решить в тетради:

Номера заданий	Страница в задачнике
43-71 (нечётные номера)	40-41

Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.

· Дельтоида

· Астроида

· Кардиоида

· Лимакона (Улитка Паскаля)

· Спираль Архимеда

· Логарифмическая спираль

· Кохлеоида

· Строфоида

· Freeth's Nephroid

· Овалы Кассини

· Лемниската Бернулли

Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=R	Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=2R·cosj	Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=2R·sinj
Окружность радиуса R Уравнение в прямоугольных координатах: х2+у2=R2 параметрические уравнение:	Окружность радиуса R   Уравнение в прямоугольных координатах: (х-х0)2+(у-у0)2=R2
Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: (х2+у2)2-а2(х2-у2)2=0, где а>0 Уравнение в полярных координатах:	Трёхлепестковая роза Уравнение в полярных координатах: где а>0
Улитка Паскаля (a>b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj	Улитка Паскаля (a=b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj	Улитка Паскаля (a<b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj
Полукубическая парабола Уравнение в прямоугольных координатах: у2=х3 параметрические уравнение:	Астроида Уравнение в прямоугольных координатах: параметрические уравнение:
Кардиоида Уравнение в полярных координатах: r=a·(1+cosj), где а>0 Кардиоида – частный случай улитки Паскаля (a=b)	Спираль Архимеда Уравнение в полярных координатах: r=a·j, где а>0
Циклоида Параметрические уравнение: , где а>0 Циклоида – это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.