Совместная обработка нескольких рядов (серий измерений)

При выполнении бесконечных многократных наблюдений в течение длительного периода времени происходит изменение параметров средств измерений, изменение влияющих факторов, что неизбежно вызывает образование систематических и случайных изменений математических ожиданий и дисперсий, полученных в рядах.

Для повышения точности измерений рекомендуется принимать меры в стабилизации параметров окружающей среды и каждый раз тщательно настраивать приборы. При выполнении таких измерений получают k – групп по n – результатов в каждом.

Групповые средние арифметические значения и общие средние определяются по следующим формулам:

(8.8)

∙ = , где j=1…k; i=1…n_j (8.9)

Оценка равнорассеянности групп наблюдений осуществляется путем расчета следующих оценок дисперсии и результатов:

Общее рассеяние в ряде (группе) наблюдений:

1. ; (8.10)

где N – общее количество измерений.

2. Рассеяние между групповыми средними:

. (8.11)

3. Рассеяние внутри каждой j – той группы:

; (8.12)

4. Среднее рассеяние внутри групп:

, (8.13)

Где j – номер ряда от 1…k;

i – номер измерения в ряду от 1…n_j;

n – общее количество измерений в рядах.

Для проверки гипотезы о равнорассеянности результатов используется F – распределение Фишера, которое описывает распределение отношений двух независимых оценок дисперсий. Если при выборной доверительной вероятности 0,95 , то различие оценок - возможные оценки дисперсии считается незначимым. В противном случае, расхождение дисперсии следует считать существенным и оно не может быть объяснено ограничением опытов данных.

В общем случае гипотезу о равнораспространенности групп результатов проверяют в два этапа:

1. Сначала проверяется гипотеза о равенстве дисперсий во всех группах наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд в порядке возрастания … и проверяют значимость отношений дисперсий / . Если это отношение дает незначимые различия оценок, то проверку по остальным дисперсиям можно не выполнять. В этом случае принимается исследуемая гипотеза и рассеивание результатов наблюдений относительно средних во всех группах считается одинаковым.

В противном случае необходимо проверить значимость отношений всех остальных дисперсий и необходимо считать дисперсии отличающиеся от существующих.

2. При равенстве дисперсий в группах проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий во всех группах. Если эта гипотеза верна, то оценки и будут являться независимыми, точечными оценками одной и той же дисперсии, равной дисперсии результатов всех наблюдений. Отношения оценок подчиняются F – распределению Фишера и если расхождение этих оценок значимо, то с вероятностью следует считать, что при измерениях происходили случайные или систематические сдвиги математических ожиданий результатов и расхождения между средними арифметическими не определяются ограниченностью данных.

На практике для оценки гипотезы о равенстве средних арифметических используется распределение Стьюдента. Расчетная величина критерия определяется:

; (8.14)

Если выполняется условие: (t₁-2)<t_T, то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Распределение Стьюдента используется для проверки значимости разности средних арифметических во всех группах, если проверка дисперсий в группах дала отрицательные результаты.

Если выполненные расчеты показали, что оценки дисперсии и средних арифметических групп отличаются незначимо, то все результаты можно считать равнорассеянными, объединить их в один массив и обработать по методике многократных равноточных измерений. Значимое различие групповых средних арифметических свидетельствует о том ,что на полученные результаты большое влияние оказали какие-то факторы, следует принять меры к их обнаружению и компенсации. Если значимыми являются различия дисперсии и незначимыми средних арифметических, то полученные результаты можно обрабатывать по методике неравноточных многократных измерений.