Условие перпендикулярности двух прямых. Элементы аналитической геометрии на плоскости
Элементы аналитической геометрии на плоскости
1) Расстояние между точками 
и 
:
2) Координаты точки 
, делящей отрезок с концами и в отношении 
: 
, 
Прямая линия на плоскости
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
, где 
– угловой коэффициент (тангенс угла 
), 
– величина отрезка, отсекаемого прямой на оси 
.
 |
2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
Дано: точка и угловой коэффициент (задает направление)
Уравнение прямой: 
(1)
При разных значениях уравнение (1) является уравнением различных прямых, проходящих через точку . Уравнение (1) называют уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнением (1) не определяется только прямая, параллельная оси (она не имеет углового коэффициента).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки и :
или 
Угловой коэффициент этой прямой 
.
4) Уравнение прямой в отрезках на осях: 
, где 
– величины отрезков, отсекаемых прямой на осях 
и .
5) Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
перпендикулярно заданному вектору 
:
6) общее уравнение прямой: 
, (2) где 
Частные случаи:
а) Пусть 
, тогда уравнение (2) можно записать в виде 
.
Обозначим 
, 
. Тогда получим 
.
• Если 
, 
, то получится уравнение 
(уравнение прямой, проходящей через начало координат).
• Если 
, 
, то получится уравнение 
(уравнение прямой, параллельной оси ).
• Если , , то получится уравнение 
(уравнение оси ).
б) Пусть 
, , тогда уравнение (2) примет вид 
. Обозначим 
. Тогда получим :
• 
, если (уравнение прямой, параллельной оси );
• 
, если (уравнение оси )
Следовательно, при любых значениях коэффициентов 
(где ) уравнение (2) является уравнением некоторой прямой линии на плоскости 
.
Угол между двумя прямыми.
 |
Пусть заданы две прямые: 
и 
. Угол 
получается поворотом прямой 
к прямой против часовой стрелки.
Из рисунка видно, что 
. Так как 
, 
(предполагается, что 
и 
), то получаем 
Таким образом, получаем следующую формулу для нахождения угла между прямыми:
.
Кроме того, для вычисления углов 
и 
между прямыми, заданными общими уравнениями 
и 
, справедлива формула
, где 
и 
.
 |
Условие параллельности двух прямых
Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, т.е. 
.
Условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных хи у, т.е. 
Условие перпендикулярности двух прямых
Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. 
(или 
).
Условием перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у , т.е. 
.
Точка пересечения прямых
Пусть даны прямые и .
Координаты точки пересечения этих прямых должны удовлетворять уравнению каждой прямой. Поэтому, они могут быть найдены из системы уравнений
Если прямые не параллельны и не совпадают (т.е. 
) , то решение данной системы дает координаты единственной точки пересечения этих прямых.