Сызықтық байланысты және сызықтық байланыссыз
Векторлар жүйелері
n 1. Сызықтық байланысты (СБ) және сызықтық байланыссыз (СБ-сыз)
векторлар жүйелерінің анықтамасы, мысалдары
Айталық, V= V, +,
F
– F өрісінде берілген векторлық кеңістік, ал а
, а
, ... , а
V (1) векторлар жүйесі болсын.
Анықтама. Егер скалярлар өрісінен бәрі бірдей нольге тең болмайтын ,
,...,
скалярлары табылып,
а
+
а
+ ... +
а
векторы нольдік вектор болса, онда (1) векторлар жүйесін сызықтық байланысты (СБ) дейді.
def
( (1) – СБ)(
,
,...,
F
а
+
а
+ ... +
а
= 0)
СБ ұғымы жазықтықта коллинеар, кеңістікте компланар ұғымдарын береді.
Анықтама. Егер (1) векторлар жүйесінің а
+
а
+ ... +
а
сызықтық комбинациясы тек
,
,...,
скалярларының бәрі ноль болғанда ғана нольдік векторға тең болса, онда ол жүйені СБ-сыз дейді.
def
((1)–СБ-сыз)(
,
,...,
F (
а
+
а
+ ... +
а
= 0
=...=
= 0 ))
Мысалдар.
1). F – n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің а
= (
,0,...,0),
а = (0,
,...,0),
...................... ,
а = (0,0,...,
)
векторлары СБ-сыз жүйе болады. Жеке жағдайы, R кеңістігінде а
= (3,0,0),
а = (0,-5,0),
а = (0,0,
)
векторларының жүйесі СБ-сыз. Бұл кеңістікте (1,0,0),
(0,1,0),
(0,0,1) векторларының жүйесі де СБ-сыз екені түсінікті. Бұлар R кеңістігінің бірлік векторлары.
2). Жазықтықтағы бір О нүктесінен шығатын бағытталған кесінділер кеңістігінің сол О нүктесінен шығатын, өзара перпендикуляр кезкелген екі векторы СБ-сыз жүйе болады.
3). М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кеңістігінде
А =
, А
=
, А
=
, А
=
векторлары (матрицалары) СБ-сыз жүйе болады.
n 2. СБ және СБ-сыз векторлар жүйелерінің қасиеттері
1 . Құрамында нольдік вектор бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеу. а , 0, а
, ... , а
векторларының жүйесі берілсін.
F скалярлар өрісінің 0,
0, 0, ... , 0 элементтері үшін
0 а +
0+ 0 а
+ ... + 0 а
= 0 д. к. о.
2 . Құрамында өзара тең векторлары бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеу. а , а
, а
, ... , а
векторларының жүйесі берілсін.
F скалярлар өрісінің
0, –
0, 0, ... , 0 элементтері үшін
а
+ (–
)а
+ 0 а
+ ... + 0 а
= 0 д. к. о.
3 . Құрамында пропорционал векторлары бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеуі өзбетімен.
4 . Егер векторлар жүйесінің қандайда бір ішкі жүйесі СБ болса, онда жүйенің өзі де СБ болады.
Дәлелдеу. а , а
, ... , а
векторлар жүйесі берілсін.
а , ... , а
– СБ болсын ( i < к ). Онда СБ-ң анықтамасы бойынша
,...,
F
а
+ ... +
а
= 0
,...,
, 0, ..., 0
F
а
+ ... +
а
+0а
+...+ 0а
= 0д.к.о.
Салдар. Егер векторлар жүйесі СБ-сыз болса, онда оның кезкелген ішкі жүйесі де СБ-сыз болады.
5 . ( Векторлар жүйесінің СБ – лығының критериі )
Векторлар жүйесі СБ болу үшін оның бір векторы қалғандарының сызықтық комбинациясы болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелдеуі өзбетімен (қара, 1
, 2 тарау, §2, 48 бет).
6 . Егер а
, а
, ... , а
векторлар жүйесі СБ-сыз болса, ал а
, а
, ... , а
, b
векторлар жүйесі СБ болса, онда b векторы а , а
, ... , а
жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі.
Дәлелдеуі өзбетімен.
7 . Егер b
L(а
, а
, ... , а
) және
i =1,2,…,к а
L(v
, v
, ... , v
) болса, онда b
L(v
, v
, ... , v
).
(Дәлелсіз қабылдаймыз).
8 . Егер а
, а
, ... , а
L(v
, v
, ... , v
) болса, онда а
, а
, ... , а
– СБ болады.
( Дәлелсіз қабылдаймыз).
Салдар 1. Егер а , а
, ... , а
L(v
, v
, ... , v
) және а
, а
, ... , а
– СБ-сыз болса, онда к
т болады.
Бұл салдарды, кейде, векторлық кеңістіктің негізгі теоремасы деп те айтады.
Салдар 2. Егер а , а
, ... , а
L(v
,v
, ... ,v
) және к > m болса, онда а
,а
, ... ,а
– СБ болады.
Салдар 3. n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте кезкелген n +1 вектордан (немесе одан да көп вектордан) тұратын жүйе СБ болады.
Мысал.R кеңістігінде а
= (2, -3, 1),
а = (3, -1, 5),
а = (1,-4,3) векторларының СБ немесе СБ-сыз болатынын анықтаңыз.
Шығаруы. Анықтама бойынша а
+
а
+
а
= 0теңдігінен
– ларды та – бамыз. Бізге
– лардың бәрі ноль ме, әлде нольден өзгелері табыла ма?, соны анықтау керек. Бізге оларды х – тар арқылы белгілеген қолайлы. Сондықтан
х а
+ х
а
+ х
а
= 0теңдеуін шешеміз.
(2 х , -3х
, х
) + (3х
, -х
, 5х
) + (х
, -4х
, 3х
) = (0, 0, 0)
Кортеждерді қосу ережесінен төмендегідей біртекті СТЖ – сін аламыз:
Осы біртекті жүйенің нольдік емес шешулері бар ма, әлде тек нольдік шешу ғана бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін жүйенің негізгі матрицасының рангсын есептейді. Егер ранг 3-ке тең болса, онда тек нольдік шешу ғана болады; ал ранг 3-тен кіші болса, СТЖ –ң нольдік емес шешулері де болады.
– жүйенің матрицасы. (Берілген векторлармен салыстыр!).
Матрицаның жолдық және бағандық ранглары тең болғандықтан, бұл матрицаның орынына транспонирленген матрицаның рангсын табуға болады.
– транспонирленген матрица. (Берілген векторлармен салыстыр!).
Сонымен, 3 – өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте берілген векторлар жүйесінің СБ не СБ-сыз болатынын анықтау үшін олардың координаталарынан матрица құрып, оның рангсын есептейміз. Егер ранг 3–ке тең болса, онда векторлар жүйесі СБ-сыз болады; ал ранг 3–тен кіші болса, – СБ болады.
«Сызықтық кеңістіктер» тақырыбына әдебиеттер:
1
. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, М., 1978
2
. Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., 1979
3
. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е., Алгебра и теория чисел (часть 2), М., 1978
4
. Мальцев И.А., Линейная алгебра, Санкт-Петербург, 2010
5
. Петрова В.Т., Лекции по алгебре и геометрии (часть 2), М., 1999
6
. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре , М., 2008
7
. Сызықтық алгебра элементтері (методикалық талдау), Құрастырған
Т.Б.Бұлабаев, А., 1992