Нахождение экстремума функции

Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru если значение функции в этой точке больше, чем ее значение в любой другой точке M (x,y) некоторой окрестности Нахождение экстремума функции - student2.ru т.е. Нахождение экстремума функции - student2.ru

Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке Нахождение экстремума функции - student2.ru если Нахождение экстремума функции - student2.ru

Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка Нахождение экстремума функции - student2.ru в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

1. Необходимое условие экстремума.

Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке Нахождение экстремума функции - student2.ru

то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю т.е. Нахождение экстремума функции - student2.ru ,

Нахождение экстремума функции - student2.ru

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

2. Достаточное условие экстремума.

Пусть Нахождение экстремума функции - student2.ru - стационарная точка функции z = f (x, y). Обозначим Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru и составим дискриминант Нахождение экстремума функции - student2.ru Тогда, если Нахождение экстремума функции - student2.ru то функция имеет в точке Нахождение экстремума функции - student2.ru экстремум:

при Нахождение экстремума функции - student2.ru (или Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru 0) – максимум;

при Нахождение экстремума функции - student2.ru (или Нахождение экстремума функции - student2.ru ) – минимум.

Если Нахождение экстремума функции - student2.ru то в точке Нахождение экстремума функции - student2.ru экстремума нет.

Если Нахождение экстремума функции - student2.ru то требуется дальнейшее исследование.

Пример. Найти экстремум функции Нахождение экстремума функции - student2.ru

Найдем частные производные функции: Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru воспользовавшись необходимыми условиями экстремума находим стационарные точки, т.е. приравниванием производные к нулю: Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru M (0;3)

Найдем коэффициенты Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru

Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru =2>0

Следовательно, в точке M (0;3) функция имеет минимум Нахождение экстремума функции - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные первого и второго порядка функций:

1. Нахождение экстремума функции - student2.ru 2. Нахождение экстремума функции - student2.ru

3. Нахождение экстремума функции - student2.ru 4. Нахождение экстремума функции - student2.ru

5. Нахождение экстремума функции - student2.ru 6. Нахождение экстремума функции - student2.ru

ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если Нахождение экстремума функции - student2.ru или dF(x)=f(x)dx.

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных F(x)+C, где C – const, т.к. (F(x)+C)´= f(x)

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение: Нахождение экстремума функции - student2.ru

Нахождение экстремума функции - student2.ru - знак интеграла;

f(x) – подынтегральная функция;

F(x)dx – подынтегральное выражение;

x – переменная интегрирования.

Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции Нахождение экстремума функции - student2.ru

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Нахождение экстремума функции - student2.ru

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. Нахождение экстремума функции - student2.ru

Нахождение экстремума функции - student2.ru

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Нахождение экстремума функции - student2.ru где a – const.

5. Интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

Нахождение экстремума функции - student2.ru

6. Если Нахождение экстремума функции - student2.ru и Нахождение экстремума функции - student2.ru то Нахождение экстремума функции - student2.ru

Таблица первообразных

1. Нахождение экстремума функции - student2.ru 2. Нахождение экстремума функции - student2.ru

3. Нахождение экстремума функции - student2.ru где Нахождение экстремума функции - student2.ru 4. Нахождение экстремума функции - student2.ru , ( Нахождение экстремума функции - student2.ru >0, Нахождение экстремума функции - student2.ru ≠1)

5. Нахождение экстремума функции - student2.ru 6. Нахождение экстремума функции - student2.ru

7. Нахождение экстремума функции - student2.ru 8. Нахождение экстремума функции - student2.ru

9. Нахождение экстремума функции - student2.ru 10. Нахождение экстремума функции - student2.ru

11. Нахождение экстремума функции - student2.ru 12. Нахождение экстремума функции - student2.ru

13. Нахождение экстремума функции - student2.ru 14. Нахождение экстремума функции - student2.ru

15. Нахождение экстремума функции - student2.ru 16. Нахождение экстремума функции - student2.ru

17. Нахождение экстремума функции - student2.ru 18. Нахождение экстремума функции - student2.ru

Методы интегрирования

ПРИМЕР 1. Нахождение экстремума функции - student2.ru

Нахождение экстремума функции - student2.ru используя свойство 3,формулу 3 и 1 из таблицы производных получим Нахождение экстремума функции - student2.ru Нахождение экстремума функции - student2.ru .

Наши рекомендации