Производная сложной функции
Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле
. (8)
Обобщенная таблица производных:
1) ,где ,
в частности
а) ,
б) ;
2) где ,
в частности
;
3) где ,
в частности
;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .
Если для функции существует обратная функция , которая имеет производную , то верна формула
. (9)
Пример 1:Найти производную функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6)
Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и -- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:
2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:
3.Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:
4.Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем:
5.Рассмотрим функцию как , где .
Функцию можно представить в виде , где . Тогда:
6.Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:
Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:
Пример 2. Вычислить , если .
Решение
Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии .
.
Вычислим значение производной при :
Пример 3.Вычислить , если
Решение
Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
.
Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию рассмотрим как , где .
Теперь вычислим
и
Тогда
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Найдите производную функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) .
1.2. Найдите производную функции при данном значении аргумента:
1) ;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1.3. Решите неравенство , где и .
II уровень
2.1. Вычислите , если
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) ;9) ;
10) 11)
12) 13)
14) .
2.2. Вычислите производную функции при заданном значении аргумента:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
2.3. Вычислите значение производной , предварительно упростив выражение:
1) 2)
3)
2.4. Вычислите производную функции, предварительно упростив выражение:
1) ; 2) ;
3) ;
4) .
2.4. Известно, что и . Найдите значение выражения где .
2.5. Найдите производную функции если .
2.6. Найдите производную функции если .
2.7. Докажите тождество:
а) если ;
б) если .
Ш уровень
3.1. Найдите производную функции:
1) ; 2) ;
3) ;
4) .
3.2. Найти производную функции, предварительно преобразовав выражение по тригонометрическим формулам:
1) ; 2) ;
3) ;
4) ;
5) .
6) .
3.3. Дана функция Определите, чему равно значение выражения .
3.4. Даны функции и . Найдите количество значений на отрезке , для которых выполняется равенство .