Глава 10. Природа математики

"Структура реальности", которую я описывал до сих пор, была структурой

физической реальности. Тем не менее, я свободно ссылался на такие категории,

которых нет нигде в физическом мире, -- абстракции, такие как числа и

бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя

отнести к физическим категориям в том смысле, в каком к ним относятся камни

и планеты, Как я уже сказал, "Книга Природы" Галилео -- всего лишь метафора.

И кроме того, существует вымысел виртуальной реальности, несуществующие

среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. За

пределами этих сред находится то, что я назвал средами "Кантгоуту", которые

невозможно передать даже в виртуальной реальности. Я сказал, что существует

бесконечно много таких сред для каждой среды, которую можно передать. Но что

значит сказать, что такие среды "существуют"? Если они не существуют ни в

реальности, ни даже в виртуальной реальности, то где они существуют?

А существуют ли абстрактные нефизические категории вообще? Являются ли

они частью структуры реальности? В данной ситуации меня не занимают проблемы

простого использования слов. Очевидно, что числа, физические законы и т. д.

действительно "существуют" в некотором смысле и не существуют в другом.

Независимо от этого возникает следующий вопрос: как мы должны понимать такие

категории? Какие из них являются всего лишь удобной формой слов, которые, в

конечном счете, ссылаются на обычную физическую реальность? Какие из них

всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны,

как правила банальной игры, которые нужно только посмотреть в приложении? А

какие, если такие вообще есть, можно объяснить только, если приписать им

независимое существование? Все, что относится к последнему виду, должно быть

частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что

это необходимо понять, чтобы понять все, что понято.

Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критерием

доктора Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли существует данная

абстракция, мы должны спросить, "дает ли она ответную реакцию" сложным,

автономным образом. Например, математики характеризуют "натуральные числа"

1, 2, 3,... -- прежде всего -- точным определением:

1 -- это натуральное число.

За каждым натуральным числом следует только одно число, которое также

является натуральным.

1 не следует ни за каким натуральным числом.

Подобные определения -- это попытки абстрактного выражения интуитивного

физического понятия последовательных значений дискретной величины. (Точнее,

как я объяснил в предыдущей главе, в действительности это понятие является

квантово-механическим). Арифметические действия, например, умножение и

сложение, а также последующие понятия, подобные понятию простого числа, в

этом случае определяют, ссылаясь на "натуральные числа". Но создав

абстрактные "натуральные числа" через это определение и поняв их через эту

интуицию, мы обнаруживаем, что осталось гораздо больше того, что мы все еще

не понимаем о них. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает,

какие числа являются простыми, а какие не являются. Но понимание того, какие

числа являются простыми, -- например, продолжается ли последовательность

простых чисел бесконечно, как они сгруппированы, насколько и почему они

"случайны", -- влечет за собой новое понимание и изобилие новых объяснений.

В действительности оказывается, что сама теория чисел -- это целый мир (этот

термин используют часто). Для более полного понимания чисел мы должны

определить множество новых классов абстрактных категорий и постулировать

много новых структур и связей между этими структурами. Мы обнаруживаем, что

некоторые подобные структуры связаны с интуицией другого рода, которой мы

уже обладаем, но которая вопреки этому не имеет ничего общего с числами --

например, симметрия, вращение, континуум, множества, бесконечность и многое

другое. Таким образом, абстрактные математические категории, с которыми, как

нам кажется, мы знакомы, тем не менее, могут удивить или разочаровать нас.

Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть

необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они

являются сложными и автономными, и, следовательно, по критерию доктора

Джонсона, мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем

понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо еще, что мы уже

понимаем, но можем понять их как независимые категории, следует сделать

вывод, что они являются реальными, независимыми категориями.

Тем не менее, абстрактные категории неосязаемы. Они не дают ответной

физической реакции так, как это делает камень, поэтому эксперимент и

наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в

науке. В математике такую роль играет доказательство. Камень доктора

Джонсона оказал ответное воздействие тем, что в его ноге появилась отдача.

Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то

неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и

объяснить это. С традиционной точки зрения ключевое различие между

доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство не

ссылается на физический мир. Мы можем осуществить доказательство в своем

собственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, который

передает среду с неправильной физикой. Единственное условие заключается в

том, что мы следуем правилам математического вывода, а потому должны

получить тот же самый ответ, что и кто-либо еще. II вновь широко

распространено мнение, что, не считая возможности появления грубых ошибок,

когда мы доказали что-либо, мы абсолютно определенно знаем, что это истина.

Математики весьма гордятся этой абсолютной определенностью, а ученые

склонны немного этому завидовать. Дело в том; что в науке невозможно быть

определенным относительно какого-либо высказывания. Неважно, насколько

хорошо чьи-либо теории объясняют существующие наблюдения, в любой момент

кто-то может предоставить новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит

под сомнение всю существующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то

может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все

существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались

подходящими, но, несмотря на это, были весьма ошибочными. Галилео, например,

обнаружил новое объяснение векового наблюдения, что земля под нашими ногами

находится в состоянии покоя, объяснение, которое влекло за собой идею о том,

что в действительности земля движется. Виртуальная реальность -- которая

может сделать так, что одна среда будет казаться другой -- подчеркивает тот

факт, что когда наблюдение выступает как высший судья теорий, никогда не

может возникнуть хоть какая-то определенность, что существующее объяснение,

каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдаленно является истиной. Но когда

в качестве судьи выступает доказательство, определенность считается

возможной.

Говорят, что правила логики впервые сформулировали, надеясь, что они

обеспечат объективный и обоснованный метод разрешения всех споров. Эту

надежду невозможно оправдать. Изучение самой логики открыло, что область

действия логической дедукции как средства раскрытия истины жестко

ограничена. При наличии существующих допущений о мире можно сделать выводы

дедуктивно; но эти выводы ничуть не более обоснованны, чем допущения.

Единственные высказывания, которые может доказать логика, не прибегая к

допущениям, -- это тавтологии -- такие утверждения, как "все планеты -- это

планеты", которые ничего не утверждают. В частности, все реальные научные

вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с

помощью одной логики. Однако считается, что математика находится в пределах

этой области. Таким образом, математики ищут абсолютную, но абстрактную

истину, в то время как ученые утешают себя мыслью, что они могут обрести

реальное и полезное знание физического мира. Но они должны принять, что это

знание не имеет гарантий. Оно вечно экспериментально и вечно подвержено

ошибкам. Идея о том, что науку характеризует "индукция", метод

доказательства, который считается аналогом дедукции, но чуть более

подверженным ошибкам, -- это попытка извлечь все возможное из этого

постижимого второсортного статуса научного знания. Вместо дедуктивно

доказанных определенностей, возможно, мы удовольствуемся индуктивно

доказанными "почти-определенностями".

Как я уже сказал, не существует такого метода доказательства как

"индукция". Идея доказательства каким-то образом достигнутой

"почти-определенности" в науке -- миф. Каким образом я мог бы

"почти-определенно" доказать, что завтра не опубликуют удивительную новую

физическую теорию, опровергающую мои самые неоспоримые допущения

относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора

виртуальной реальности? Но я говорю все это не для того, чтобы показать, что

научное знание действительно "второсортно". Ибо идея о том, что математика

дает определенности - это тоже миф.

С древних времен идея о привилегированном статусе математического

знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные

категории, по крайней мере, не просто являются частью структуры реальности,

но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что регулярности

в природе есть выражение математических отношений между натуральными

числами. "Все вещи есть числа" -- таков был его девиз. Он не имел это в виду

буквально, однако Платон пошел еще дальше и отрицал реальность физического

мира вообще. Он считал, что наши мнимые ощущения этого мира ничего не стоят

и вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления,

которые мы понимаем, -- всего лишь "тени" несовершенных копий их истинных

сущностей ("Форм" или "Идей"), существующих в отдельной области, которая и

есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют

Формы чистых чисел, таких, как 1, 2, 3, ... , и Формы математических

действий, таких, как сложение и умножение. Мы можем воспринять некоторые

тени этих Форм, когда кладем на стол одно яблоко, потом еще одно и видим,

что на столе два яблока. Однако яблоки выражают "наличие одного" и "наличие

двух" (и, в данном случае, "наличие яблок") несовершенно. Они не являются

совершенно идентичными, а потому, в действительности на столе никогда нет

двух примеров чего-либо. На это можно возразить, что число два можно также

представить, положив на стол два различных объекта. Но и такое представление

несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе

также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух. В отличие от Пифагора.

Платон занимался не только натуральными числами. Его реальность содержала

Формы всех понятий. Например, она содержала Форму совершенного круга.

"Круги", которые мы видим, никогда не являются действительно кругами. Они не

совершенно круглые, не совершенно плоские; у них есть конечная толщина и

т.д. Все они несовершенны.

Затем Платон указал задачу. Принимая во внимание все это Земное

несовершенство (и он мог бы добавить, наш несовершенный сенсорный доступ

даже к Земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о

реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но

каким образом? Где Евклид приобрел знание геометрии, которое выразил в своих

знаменитых аксиомах, когда у него не было ни истинных кругов, ни точек, ни

прямых? Откуда исходит эта определенность математического доказательства,

если никто не способен ощутить те абстрактные категории, на которые оно

ссылается? Ответ Платона заключался в том, что мы получаем все это знание не

из этого мира теней и иллюзий. Мы получаем его непосредственно из самого

мира Форм. Мы обладаем совершенным врожденным знанием того мира, которое,

как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями

ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно

вспомнить, усердно применяя "разум", впоследствии дающий абсолютную

определенность, которую никогда не может дать ощущение.

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомнительную

фантазию (включая самого Платона, который все-таки был очень компетентным

философом, считавшим, что публике стоит говорить благородную ложь)? Тем не

менее, поставленная им задача -- как мы можем обладать знанием, не говоря уж

об определенности, абстрактных категорий -- достаточно реальна, а некоторые

элементы предложенного им решения с тех пор стали частью общепринятой теории

познания. В частности, фактически все математики до сегодняшнего дня без

критики принимают основную идею того, что математическое и научное знание

проистекают из различных источников и что "особый" источник математического

знания дает ему абсолютную определенность. Сейчас этот источник математики

называют математической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и

"воспоминания" Платона об области Форм.

Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности

видов совершенно надежного знания можно ожидать от нашей математической

интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция --

источник абсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению

относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для

бесконечных, неразрешимых споров.

Большая часть таких споров неизбежно касалась обоснованности или

необоснованности различных методов доказательства. Одно из разногласий было

связано с так называемыми "мнимыми" числами. Новые Теоремы об обычных,

"вещественных" числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах

доказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были

доказаны первые теоремы о распределении простых чисел. Однако некоторые

математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они не

реальны. (Современная терминология все еще отражает это старое разногласие

даже сейчас, когда мы считаем, что мнимые числа так же реальны, как и

"вещественные"). Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам,

что нельзя извлекать квадратный корень из минус одного, и, поэтому они не

понимали, почему кто-либо другой может это сделать. Нет сомнения в том, что

они называли этот злостный порыв "математической интуицией". Однако другие

математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа,

и как они согласуются с вещественными. Почему, думали они, человеку не

следует определять новые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он

предпочитает? Безусловно единственным законным основанием запретить это была

бы логическая несовместимость требуемых свойств. (Это, по существу,

современное мнение, выработанное всеобщими усилиями, математик Джон Хортон

Конуэй грубо назвал "Движением Освобождения "Математиков"). Однако

общеизвестно, что никто не доказал и то, что обычная арифметика натуральных

чисел является самосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использования

бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов,

и бесконечно малых величин, используемых при исчислении. Дэвид Гильберт,

великий немецкий математик, предоставивший большую часть инфраструктуры как

общей теории относительности, так и квантовой теории, заметил, что

"математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями,

проистекающими из бесконечности". Некоторые математики, как мы увидим, вовсе

отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ

к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разрешения этих

разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего

усложнения математическое рассуждение неизбежно удалялось от повседневной

интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых,

математики стали более педантичными в отношении доказательств, которые,

прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на

соответствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы

доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью

существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли

какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самоочевидность,

абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризис основ математики, который

заключался в том, что этих основ не было. Но что же произошло с законами

чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические

споры? Удивителен тот факт, что теперь математические споры в сущности и

велись о "законах чистой логики". Первым эти законы привел в систему

Аристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называют

теорией доказательства. Он допустил, что доказательство должно состоять из

последовательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и

определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последовательность

утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме

начальных посылок, должно следовать из предыдущих в соответствии с одним из

постоянного набора законов, называемых силлогизмами. Типичным был следующий

силлогизм

Все люди смертны.

Сократ -- человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве

появляется утверждение вида "все А имеют свойство В" (как в данном случае

"все люди смертны") и другое утверждение вида "индивидуум Х есть А" (как в

данном случае "Сократ -- человек"), то впоследствии в доказательстве

обоснованно появление утверждения "X имеет свойство В" ("Сократ смертен"), и

это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы

выражают то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами,

определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что

истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить,

чтобы определить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в

виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства

заключалась в том, что очень небольшое количество современных математических

доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более

того, большинство из них невозможно было привести к такому виду. Тем не

менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве

закона Аристотеля, так как некоторые новые доказательства казались так же

самоочевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли

на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как символическая логика и

теория множеств, позволили математикам установить новую связь между

математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные

истины, независимые от классических правил вывода, и, таким образом,

классические правила оказались самоочевидно неадекватными. Но какие же из

новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно

было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на которую

ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсолютный авторитет

старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно

того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные небесные

замки. Для практических целей многие такие строения казались достаточно

надежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а

большинство образовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее,

никто не мог гарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная

ее часть, не имела в своей основе логического противоречия, которое

буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902 году Бертран Рассел доказал

несостоятельность схемы строгого определения теории множеств, которую только

что предложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схема

непременно была необоснованной для использования множеств в доказательствах.

На самом деле совсем немногие математики всерьез считали, что хоть какой-то

из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых

разделов математики может быть необоснованным. В результатах Рассела

поражало то, что математики верили, что их предмет является par excellence

средством получения абсолютной определенности через доказательство

математических теорем. Сама возможность разногласий относительно

обоснованности различных методов доказательства подрывала всю суть (как

считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, что подведение под теорию

доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы было

насущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после

своих опрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие виды

доказательства являются абсолютно надежными, а какие нет. Все, что оказалось

вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало в эту

зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр

пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории доказательства,

известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников.

Интуиционисты пытаются толковать "интуицию" самым ограниченным постижимым

образом, оставляя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными

аспектами. Затем они поднимают таким образом определенную математическую

интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себе Платон: они

считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, они считают

саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда ее доказывает

прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно

иметь прямую интуицию какой-либо бесконечной категории. Следовательно, они

отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех

натуральных чисел. Высказывание о том, что "существует бесконечно много

натуральных чисел", они сочли бы самоочевидно ложным. А высказывание о том,

что "существует больше сред Кантгоуту, чем физически возможных сред", --

абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм, равно как и индуктивизм, сыграл ценную

освободительную роль. Он осмелился подвергнуть сомнению полученные

определенности -- некоторые из которых действительно оказались ложными. Но

как позитивная теория о том, что является или не является обоснованным

математическим доказательством, он и гроша ломаного не стоит. В

действительности интуиционизм -- это точное выражение солипсизма в

математике. В обоих случаях наблюдается Чрезмерная реакция на мысль о том,

что мы не можем быть уверены в том, что нам известно о более отдаленном

мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во

внутренний мир, который мы, предположительно, можем познать напрямую, и

следовательно (?), можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях

решение заключается в отрицании существования -- или, по крайней Мере, в

отказе от объяснения -- того, что находится вовне. И в обоих случаях этот

отказ также делает невозможным объяснение большей Части того, что находится

внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как

утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных

чисел, то можно сделать вывод, что может существовать только конечное

множество таких чисел. А сколько их может быть? И потом, сколько бы их не

было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа,

превышающего последнее? Интуиционисты оправдались бы в этом случае, сказав,

что приведенный мной аргумент допускает обоснованность обычной логики. В

частности, он содержит процесс вывода: из факта, что не существует

бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать

какое-то конкретное количество натуральных чисел. Применяемое в данном

случае правило вывода называется законом исключенного третьего. Этот закон

гласит, что для любого высказывания Х (например, "существует бесконечно

много натуральных чисел"), не существует третьей возможности кроме

истинности Х и истинности отрицания Х ("существует конечное множество

натуральных чисел"). Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного

третьего.

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенного третьего

подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает у

неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевидна надежность интуиции

интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит

из логической интуиции, он приводит нас к пересмотру вопроса о том,

действительно ли математическая интуиция превосходит логику. В любом случае

может ли это превосходство быть самоочевидным?

Но все это направлено на критику интуиционизма извне. Это не

опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо

настаивает, что для него очевидно самосогласованное высказывание, как если

бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать его

неправоту невозможно. Однако, как и в случае с солипсизмом, воистину роковая

ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда,

когда его всерьез принимают, на его же собственной основе, в качестве

объяснения своего собственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты

верят в реальность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3. ... , и

даже 10949769651859. Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из

этих чисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную

последовательность, Интуиционисты считают не более чем самообманом или

искусственностью и буквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей

версией абстрактных "натуральных чисел" и интуицией, что первоначально эти

числа должны были быть формализованы, интуиционисты также сами отрицают

обычную объяснительную структуру, через которую понимают натуральные числа.

Это вызывает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным

усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив для

натуральных чисел альтернативную или более глубокую объяснительную

структуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что

делали солипсисты: он еще дальше уходит от объяснений. Он вводит дальнейшие

необъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенного

третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить

интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были

истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается с мотивации упрощения пугающе

разнообразного и неопределенного мира, но при серьезном к нему отношении

оказывается реализмом в сочетании с несколькими ненужными усложнениями, так

и интуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых

контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.

Дэвид Гильберт предложил гораздо более разумный -- хотя, в конечном

счете, и обреченный -- план "раз и навсегда ввести убежденность в

математических методах". План Гильберта основывался на идее согласованности.

Он надеялся составить полный набор современных правил вывода математических

доказательств с определенными свойствами. Количество таких правил должно

было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобы

определить, удовлетворяет ли им какое-то предложенное доказательство, не

составляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы эти

правила были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным

требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы

правила лишь умеренно соответствовали интуиции при условии, что он мог бы

быть уверен в их самосогласованности. То есть, если правила определили

данное доказательство как обоснованное, он хотел быть уверен, что они

никогда не определят как обоснованное любое другое доказательство с

противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом? На этот раз

согласованность должна была быть доказана с помощью метода доказательства,

который сам придерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт

надеялся восстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также

надеялся, что с помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое

истинное математическое утверждение и не будет доказуемо любое ложное

утверждение. В 1900 году в ознаменование начала века Гильберт опубликовал

список задач, которые, как он надеялся, математики смогут решить в двадцатом

веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правил вывода с

вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности в соответствии

с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережить разочарование. Тридцать один год

спустя Курт Гедель создал революционную теорию доказательства с коренным

опровержением, которая до сих пор является отправной точкой для

математического и физического миров: он доказал, что десятая задача

Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гедель доказал, что любой набор

правил вывода, способный правильно обосновать даже доказательства обычной

арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной

согласованности. Следовательно, нечего и надеяться найти доказуемо

согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых, Гедель

доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно

обширной) области математики является согласованным (неважно, доказуемо это

или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснованные методы

доказательства, которые эти правила не могут определить как обоснованные.

Это называется теоремой Геделя о неполноте. Для доказательства своих теорем

Гедель пользовался замечательным расширением "диагонального доказательства"

Кантора, о котором я упоминал в главе 6. Он начал с рассмотрения любого

согласованного набора правил вывода. Затем он показал, как составить

утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих

правил. Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, это было бы плохой новостью для

концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило

бы необходимость понимания при критике математических идей. Кто угодно --

или какая угодно неразумная машина, -- способный выучить наизусть правила

вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы так же хорошо оценивать

математические высказывания, как и самый способный математик, не нуждаясь в

математическом понимании или даже не имея самого отдаленного понятия о

смысле этого высказывания. В принципе, было бы возможно делать новые

математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила

Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и

математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не

удовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либо

знаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы

уладить любое разногласие в математике, даже не понимая его смысла -- даже

не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия

доказательства или того, что оно доказывает, или в чем заключается метод

доказательства, или почему оно надежно.

Может показаться, что достижение единых норм доказательства в

математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к

объединению -- то есть "углублению" нашего знания, на которое я ссылался в

главе 1. Однако происходит обратное. Подобно предсказательной "теории всего"

в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре

реальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видение

редукционистов, предсказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее.

Более того, если бы математика была редукционистской наукой, то все

нежелаемые черты, которые, как я доказал в главе 1, отсутствуют в структуре

человеческого знания, присутствовали бы в математике: математические идеи

создали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гилберта.

Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, оказалась бы

очень сложна, стали бы объективно менее фундаментальными, чем те, которые

можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог

существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем

математике пришлось бы заниматься даже менее фундаментальными задачами.

Математика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе. Если бы

этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже более загадочные

специализации, по мере увеличения сложности "исходящих" вопросов, которые

математики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этих

вопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода

определения истинности математического высказывания, как не существует и

непреложного метода определения истинности научной теории. Как никогда не

будет и непреложного метода создания нового математического знания.

Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от

использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда

будет возможно и необходимо для математиков. Они будут обосновывать их с