Порядок выполнения работы и методические указания по ее выполнению

В соответствии с индивидуальным заданием исследовать динамику систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением:

1. Для заданного диапазона изменения управляющего параметра системы, построить бифуркационную диаграмму для максимумов временной реализации указанной переменной.

2. Для нескольких значений бифуркационного параметра (3-4), соответствующим различным периодическим и хаотическим режимам системы, построить временные реализации и фазовый портрет. Определить тип притягивающего множества (аттрактора) системы.

3. Для хаотического режима показать разбегание первоначально близких траекторий. Определить время начала расхождения. Сравнить с разбеганием в другой системе.

.

Содержание отчета (контрольный пример)

I. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Чуа, параметр , параметр является бифуркационным параметром:

На рис 2.2 показана бифуркационная диаграмма для значений локальных максимумов переменной :

Рис. 2.2.

Качественно разные режимы поведения.

1. На рис.2.3(а, б, в) показаны временные реализации (а), построенное одномерное отображение для локальных максимумов (б) и фазовый портрет (в) для значений параметров .

Устойчивый цикл

X(t)

б) Одномерное отображение

Y(t)

Z(t)

а) Временные реализации в) Фазовый портрет

Рис. 2.3.

2. На рис. 2.4(а, б, в) показаны временные реализации (а), построенное одномерное отображение для локальных максимумов (б) и фазовый портрет (в) для значений параметров

Странный аттрактор

X(t)

б) Одномерное отображение

Y(t)

Z(t)

а) Временные реализации в) Фазовый портрет

Рис. 2.4.

3. На рис. 2.5(а, б, в) показаны временные реализации (а), построенное одномерное отображение для локальных максимумов (б) и фазовый портрет (в) для значений параметров

Устойчивый фокус

X(t)

б) Одномерное отображение

Y(t)

Z(t)

а) Временные реализации в) Фазовый портрет

Рис. 2.5.

II. . На рис. 2.6(а, б, в) показано разбегание первоначально близких траекторий для системы Чуа при

а) Начальные условия б) Начальные условия

в) Расхождение начинается при

Рис. 2.6

Индивидуальные задания

. Исследовать поведение системы дифференциальных уравнений:

№ вар.	Система дифференциальных уравнений	Компонента для нахождения максимумов	Диапазон изменения бифуркационного параметра
	Лоренца
Чуа
	Чуа
Ресслера
	Ресслера
Анищенко
	Лоренца
Ресслера
	Чуа
Анищенко
	Анищенко
Лоренца

Контрольные вопросы

1. Что такое временная реализация системы, фазовое пространство, фазовый портрет?

2. Какие бывают типы временных реализаций в установившемся режиме?

3. Какие бывают типы поведения системы в фазовом пространстве в установившемся режиме?

4. Какие бывают особые точки?

5. Что такое предельный цикл?

6. Что такое детерминированный хаос?

7. Какие свойства присущи системам с хаотическим поведением?

8. Что такое бифуркация?

9. Как построить бифуркационную диаграмму для дискретного отображения?

10. Как исследовать поведение непрерывной системы с помощью построения отображения для локальных максимумов?

11. Что такое аттрактор системы?

12. Что такое странный аттрактор?

13. Как изменяется фазовый объем в диссипативных системах?