Моменттер, асимметрия және экцесс 3 страница
35. Дөңгелек үстел басында n адам отыр. Осы адамдардың шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары саны =(n–1)! формуласымен анықталатынын көрсетіңдер.
Шешімі: Математикалық индукция принципін қолданайық. A(n) – n адамдардың шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары саны болсын.
n = 3 болсын. Үш адамды үстел басында шеңбер бойымен жылжитын барлық алмастырулары 123, 132 болады, өйткені басқа варианттар осы екеудің біреуіне тең болады. Шынында, барлығы 6 алмастыру бар: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Олардың үшіншісі мен алтыншысын екіншісіне жылжу арқылы келтіруге болады, ал төртінші мен бесіншісін – біріншіге алмастыруға болады.
Сондықтан A(3) = (3 – 1)!.
Енді формула n = k жағдайына орындалсын, яғни
A(k) = (k – 1)! = болсын.
Ал, n = k + 1 болсын. Үстел басындағы k адамдардың арасында
(k + 1)-адамды отырғызу үшін k орын табылады. Индукцияның жорамалы бойынша, қалған k адамды қалған орындарға A(k) тісілмен отырғызуға болады. Көбейту ережесі бойынша,
A(k + 1) = A(k)×k = (k – 1)!×k = k!= .
Математикалық индукция принципі бойынша, A(n) = (n – 1)! формуласы кез келген натурал n > 2 санына орындалады.
36. Темір жол бектінде m бағдаршам бар. Егер әрбір бағдаршам «қызыл», «сары», «жасыл» түсті үш түрлі белгі бере алса, онда осы m бағдаршамдар көмегімен барлығы неше түрлі тәсілмен белгілер беруге болады?
Шешімі: Әрбір бағдаршам 3 түрлі белгі бере алады. Ал m бағдаршам = 3m түрлі белгі бере алады (қайталанбалы орналастырулар саны).
37. Дөңгелек үстел басына 5 қыз бала мен 5 ұл баланы, 2 қыз бала не 2 ұл бала қатар отырмайтындай етіп, неше түрлі тәсілмен отырғыза аламыз?
Шешімі: 5 қыз баланы ұл балалардың арасына 5! тәсілмен отырғызуға болады. 5 ұл баланы 5 қыз баланың арасында 5! тәсілмен отырғызуға болады. Көбейтінді ережесі бойынша, дөңгелек үстел басына 5 қыз бала мен 5 ұл баланы, 2 қыз бала не 2 ұл бала қатар отырмайтындай етіп, 5!×5! тәсілмен оытрғыза алуға болады.
38. 2, 4, 5 цифрларының көмегімен 104-нен кіші неше: 1) тақ сандар; 2) жұп сандар жазып шығуға болады?
Шешімі: 104-нен кіші сан бір таңбалы, екі таңбалы, үш таңбалы сан немесе төрт таңбалы сан бола алады.
1) 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын бір таңбалы бір тақ сан бар: 5.
2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы тақ сандардың соңғы цифры 5 болу керек, ал бірінші цифры 2, 4, 5 бола алады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы тақ сандардың саны 3×1 болады.
Осындай үш таңбалы сандардың алғашқы екі цифрын үш тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын үш таңбалы тақ сандардың саны 3×3×1 болады.
Осындай төрт таңбалы сандардың алғашқы үш цифрын үш тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын төрт таңбалы тақ сандардың саны 3×3×3×1 болады.
Сөйтіп, 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын тақ сандардың саны 1 + 3 +32 +33 = 40 болады.
2) 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын бір таңбалы екі жұп сан бар: 2, 4.
2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың соңғы цифры 2 немесе 4 болу керек, ал бірінші цифры 2, 4, 5 бола алады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын екі таңбалы жұп сандардың саны 3×2 = 6 болады.
Осындай үш таңбалы сандардың алғашқы екі цифрын 32 тәсілмен, соңғысын 2 тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын үш таңбалы жұп сандардың саны 3×3×2 = 18 болады.
Осындай төрт таңбалы сандардың алғашқы үш цифрын 3 тәсілмен, соңғысын 2 тәсілмен таңдап алуға болады. Сондықтан 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын төрт таңбалы жұп сандардың саны 3×3×3×2 = 54 болады.
Сөйтіп, 2, 4, 5 цифрларының көмегімен жазылатын жұп сандардың саны 2 + 6 +18 + 54 = 80 болады.
39. Сабақ үстінде тақтаға 5 оқушы шықты. Егер олардың ешқайсысы «екілік» алмайтыны белгілі болса, онда бұл оқушыларға неше түрлі тәсілмен бағалар қойып шығуға болады?
Шешімі: Әрбір оқушыға 3 баға қоюға болады: 3, 4, 5. Сондықтан 5 оқушыға бағаны = 35 = 243 тәсілмен қоюға болады (қайталанбалы орналастырулар саны).
40. 4 оқушыға 12 кітапты неше түрлі тәсілмен тең бөліп беруге болады?
Шешімі: Әрбір оқушыға 3 кітап беру керек. Бірінші оқушыға 3 кітапты тәсілмен, екінші оқушыға қалған 9 кітаптан 3 кітапты тәсілмен, үшіншіге қалған 6 кітаптан 3 кітапты тәсілмен, төртіншіге қалған 3 кітапты 1 тәсілмен бөліп беруге болады. Көбейтінді ережесі бойынша, 4 оқушыға 12 кітапты × × ×1 = × × тәсілмен тең бөліп беруге болады.
41. 30 оқушыны ағылшын, неміс және француз тілдерін оқыту үшін он-оннан үш топқа бөлу қажет. Оны неше түрлі тәсілмен орындауға болады?
Шешімі: 30 оқушыдан бірінші топқа 10 оқушыны тәсілмен, қалған 20 оқушыдан екінші топқа 10 оқушыны тәсілмен таңдап алуға болады. Ал қалған 10 оқушыны үшінші топқа 1 тәсілмен жібере саламыз.
Көбейтінді ережесі бойынша, 30 оқушыны ағылшын, неміс және француз тілдерін оқыту үшін он-оннан үш топқа × тәсілмен бөлуге болады.
42. Тоғызқұмалақ ойыны турнирінде қатысушылардың әрқайсысы қалғандарымен бір-бір партия ойнап шығуы қажет еді. Турнирге қатысушылардың екеуі әрқайсысы үш-үш партия ойнағаннан кейін денсаулығына байланысты турнирден шығып қалды. Егер бұл жарыста барлығы 16 партия ойналған болса, онда басында турнирге неше ойыншы қатысқан?
Шешімі: x – турнирге қатысушылар саны болсын. Олар бір-бірімен бір партия ойнап шығуы қажет еді. Бірақ, екеуі ойыннан шығып қалды. Сондықтан турнирге x – 2 ойынша толығымен қатысты. Олар ойыннан шыққан екеуін есептемегенде бір-бірімен = партия ойнап шықты. Оған қоса ойыннан шыққан екеуі үш-үш партиядан ойнаған. Бәрі 16 партия болады.
Мұнда екі жағдайды қарау керек.
1) Ойыннан шыққан екеуі бір-бірімен ойнамаған. Онда олар 6 партия ойнады. Сондықтан + 6 = 16. Онда – 10 = 0, (x – 2)(x – 3) – 20 = 0, x2 – 5x – 14 = 0. Осыдан x = 7.
2) Ойыннан шыққан екеуі бір-бірімен бір партия ойнайды. Онда олар бәрі 5 партия ойнайды. Осыдан + 5 = 16 немесе – 11 = 0, (x – 2)(x – 3) – 22 = 0, x2 – 5x – 16 = 0. Бірақ бұл теңдеудің бүтін шешімі жоқ.
Сондықтан есептің жалғыз жауабы бар: x = 7.
43. Теңбе-теңдікті дәледеңдер:
1) + +…+ = ;
2) + 2 +…+ n = n×2n–1;
3) – 2 +…+ (–1)n –1×n× = 0.
Шешуі. 1) Sn = + +…+ болсын.
Осы теңдікті (n + 1)-ге көбейтейік: (n + 1)Sn = + +…+ . Ал k = 0, 1,…, n үшін = = = = екенін көруге болады. Осыдан = = , = = ,…, = . Сөйтіп, (n + 1)Sn = + +…+ . Осы теңдіктің екі жағына -ді қосайық: + (n + 1)Sn = + + +…+ . Оң жақтағы қосындының мәні 2n+1-не тең (оқулықтың 221 беті). Осыдан + (n + 1)Sn = 2n+1. Ал = 1. Онда Sn = .
2) Sn = + 2 +…+ n× болсын. Енді k = 1,…, n саны үшін k× = k× = n× = n× = n× . Осыдан Sn = 1× + 2 +…+ n× = n× + n× +…+ n× = n×( + +…+ ) = n×2n–1.
3) Алдыңғы есепте k× = n× екені көрсетілген. Сондықтан 1× – 2 +…+ (–1)n –1×n× = n× – n× +…+ (–1)n –1×n× = n×( – +…+ (–1)n –1× ) = n×0 = 0, өйткені – +…+ (–1)n –1× = 0.
44. Қосындыны анықтаңдар:
1) + 2 + 22 +…+ 2n ;
2) + + +…;
3) + + +….
Шешімі. 1) (a + b)n = anb0 + an–1b1 + an–2b2 +…+ a0bn формуласында a = 1, b = 2 деп алайық. Онда (1 + 2)n = 1n20 + 1n–121 + 1n–222 +…+ 102n = 20 + 2 + 22 +…+ 2n = + 2 + 22 +…+ 2n. Сондықтан + 2 + 22 +…+ 2n = 3n.
2) (a + b)n = anb0 + an–1b1 + an–2b2 +…+ a0bn формуласында a = 1, b = –1 деп алайық. Онда – + – +…+ (–1)n = 0. Екіншіден + + +…+ = 2n. Осы екі теңдікті қосса, 2( + + +…) = 2n шығады. Осыдан + + +… = 2n–1.
3) 2-есепте – + – +…+ (–1)n = 0 екені көрсетілген. Онда + + +…= + + +… Сондықтан + + +… = 2n–1.
45. Теңдеуді шешіңіздер:
1) ; 2) .
Шешімі: теңдеуінен + = 11 шығады. Теңдеудің сол жағына = + теңдігін қолданайық. Онда = 11 . Осыдан = немесе = , = , (x – 1)(x – 2) = 11×12. Осыдан x = 13.