Признак определенности системы линейных уравнений
С квадратной матрицей коэффициентов и ее решение
По правилу Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений из уравнений с
неизвестными:
Матрица коэффициентов при неизвестных содержит строк и
столбцов:
Теорема Крамера. Если определитель отличен от нуля, то рассматриваемая система линейных уравнений определенная и ее единственное решение находится по формулам:
где
- определитель, полученный из определителя
заменой
- ого столбца, т.е. столбца коэффициентов при неизвестной
, на столбец свободных членов.
▼
Пример
Решить систему, заданную расширенной матрицей:
Решение.
Ответ:
▲
Обратная матрица и ее вычисление
Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов можно и другим способом, используя обратную матрицу. При этом определитель матрицы коэффициентов должен быть также отличен от нуля.
Рассмотрим квадратную матрицу:
Вырожденной (особенной) называется квадратная матрица, если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) – в противном случае.
Обратной для матрицы называется матрица
если выполняется:
где
единичная матрица.
Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.
Обратную матрицу можно вычислить разными способами.
А) Одно из правил вычисления обратной матрицы:
1) берется невырожденная матрица
2) обратная матрица находится по формуле
где присоединенная (или взаимная) матрица, состоящая из алгебраических дополнений
элементов
матрицы
, где
- минор порядка
матрицы
, получаемый из определителя матрицы
вычеркиванием
-ой строки и
-ого столбца.
Обратим внимание, что в присоединенной матрице строки транспонированы в столбцы.
▼
Пример
Вычислить обратную матрицу для матрицы:
.
Решение.
Вычислим определитель матрицы: .
Определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, для матрицы
существует единственная обратная матрица. Вычислим присоединенную матрицу:
,
,
,
,
.
Проверкой убеждаемся, что .
▲
Б) Обратную матрицу можно вычислить после элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы:
1) умножение (деление) строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.
Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы , необходимо составить матрицу
, затем с помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу
к виду единичной матрицы
, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу
:
.
▼
Пример
Вычислить обратную матрицу для матрицы
.
Решение.
Составим матрицу вида:
.
Элемент и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный с единицей в первой строке. Для этого к второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и –2. В результате данных преобразований получим матрицу:
.
В матрице преобразуем второй столбец в единичный. В качестве направляющего элемента выберем элемент
. Так как направляющий элемент
, то разделим вторую (направляющую) строку на 3:
.
Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на –3, и получим матрицу:
.
Третий столбец матрицы преобразуем в единичный. В качестве направляющего элемента выбираем элемент
. Делим направляющую (третью) строку на 4:
.
Ко второй строке прибавляем третью, умноженную на –4/3, и получим матрицу:
.
Откуда
.
Проверкой убеждаемся, что .
▲