Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3 2 страница

У=кх+в

К=

в=

У=3х-5–наклонная асимптота

Вертикальные асимптоты

Х=1 точка разрыва

= = = =

= = = =

Пример 2.11.

Вычислить предельную выручку, если известны уравнения спроса10q+p-100=0 и значения цены р=80 на продукцию (- количество продукции. р-цена продукции) Что она показывает?

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

Пример 2.12.

Функции спроса и предложения имеют вид - спроса, - предложения.

Найти: 1) равновесную цену ;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

1) равновесная цена находится в случае, если спрос равен предложению

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

Спрос на товар по оптимальной цене

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E_D| > 1, то спрос называется эластичным, если |E_D| < 1, то неэластичным. В случае E_D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Пример 3.1.

Найти все частные производные 1-го порядка: Пример 3.2.

Найти все частные производные 1-го порядка

Пример 3.3.

Найти все частные производные 1-го порядка

Пример 3.4.

Найти все частные производные 2-го порядка

Пример 3.5.

Дана функция , точка A(1; 1) и вектор .

Найти: a) в точке A; б) производную в точке A по направлению вектора a.

Найдем частные производные данной функции

Подставим координаты точки А в данные частные производные.

в точке A

Определим направляющие косинусы для вектора а

Для этого найдем длину вектора

Найдем производную по направлению

Пример 3.6.

Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение:

Найдем частные производные данной функции

Пример 3.7.

Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 4 ден.ед., а стоимость ед. фактора равна 1 ден.ед.

2) Решите задачу определения максимального выпуска продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все средства ден.ед.

Решение:

Функция издержек фирмы

ден. ед.

Изокванта для выпуска продукции объемом Q (4, 1)=2

К= ден.ед.

K
L

Пример 3.8.

Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид .

a=15; b=0,009; c=100; p=85.

1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график;

2) найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Прибыль= доход- издержки

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

1) Область определения

Д(q)=

2) Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

нет корней

Нет точек пересечения с осями координат

3)Четность-нечетность, периодичность

Д(q)=

Так как график несимметричен относительно оси оу и начала координат, нечетная и не нечетная

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

q=50.92- точка экстремума

убыток

q		(0;50,92)	50,92	(50,92; )
		+		-
C	-100	возрастает	2275,3	убывает

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

q
		-
C	-100	выпукла

6) Асимптоты

У=кх+в

C

Правой асимптоты нет

q

p=50.92 объем производства

П=2275,3 прибыль

Тема 4: «Интегральное исчисление»

Пример 4.1. Вычислить интеграл непосредственным интегрированием:

Пример 4.2 Вычислить интеграл методом замены: ;

Пример 4.3 Вычислить интеграл методом интегрирования по частям: .

При вычислении данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

.

Тогда получим

Пример 4.4. Найти неопределённый интеграл с помощью замены переменной:

=

Пример 4.5. Найти неопределённый интеграл с помощью замены переменной:

.=

=

Пример 4.6.

Разложим подынтегральную функцию, т.е. правильную рациональную дробь, на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

Таким образом,

.

Далее, вычисляем исходный интеграл

Пример 4.7. ,

Пример 4.8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найдем точки пересечения

кв.ед.

Ответ: кв.ед.

Пример 4.7.

Пример 4.8. =

Пример 4.9. .

=

=

Пример 4.10. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

Пример 4.11.

Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, если известна функция ,описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства

			0,5

Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, используя формулу

,

полагая в формуле , где – затраты времени на первое изделие, – показатель производственного процесса, (мин.), .

Решение:

(мин.).

Тема 5: «Дифференциальные уравнения»

Пример 5.1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

Данное уравнение является однородным уравнением