Разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов
Ортогональные функции.
Две вещественные функции и на интервале называются ортогональными, если
Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если
где — скалярное произведение векторов и — значений векторнозначных функций и в точке , — точка области , а — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : .
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Определение. Последовательность функций j1(x), j2(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j1(x), j2(x), …,jn(x) называется ряд вида:
коэффициенты которого определяются по формуле:
,
где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
[an error occurred while processing this directive]
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам.
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
№ 5 Предел ФКП. Непрерывность ФКП. Производная ФКП. Условия Каши-Римана.
Предел ФКП.
Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при z → z0, если для любой ε-окрестности U(w0, ε) (ε>0) точки w0 найдётся такая проколотая δ-окрестность точки z0, что для всех значения f(z) принадлежат U(w0, ε). Другими словами, если z0 - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z0| < δ следует неравенство | f(z) − w0| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z0 = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .
Неравенство | f(z) − w0| < ε означает, что |(u(x, y) + iv(x, y)) − (u0 + iv0)| < ε, или |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, поэтому |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < ε Отсюда легко получить, что . Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w0 = |w0|·(cos arg w0 + i sin arg w0) ≠ 0, то (для существования нулевого предела достаточно, чтобы ). .
Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0. Функция называется непрерывной в точке z0, если:
1. существует ;
2.
Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке z0 = x0 + iy0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0, y0), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.
Определение производной. Аналитичность ФКП.Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия -аналитичности функциив точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D,если она аналитична в каждой точке этой области.
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.
Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения .