Рекомендации к выполнению задания. Для решениязадачи N6необходимо знать следующие определения и свойства:

Для решениязадачи N6необходимо знать следующие определения и свойства:

1) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x)=f(x).

Если F(x)- первообразная для функции f(x) на промежутке X, то множество функций F(x)+C, где С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

Свойства неопределенного интеграла:

и

4) Таблица основных интегралов и производных

Производные и дифференциалы	Интегралы

Методы интегрирования.

а) Непосредственное интегрирование.

Пример 1.

Используя свойства неопределенного интеграла и таблицу простейших интегралов, найти интеграл

б) Метод подстановки.

Полагая х =j(t), где t - новая переменная, а j -непрерывно диффе­ренцируемая функция, получим

(1)

Функцию j выбирают таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид.

Пример 2.

Используя метод подстановки, найти интеграл

Полезно знать, что:

-если интеграл содержит радикал , то обычно полагают x=asint если интеграл содержит радикал то полагают х = asect

);

-если интеграл содержит радикал , то полагают х = atgt (dx= =asect);

-если интеграл есть рациональная функция, содержащая sinx, cosx, то обычно используют подстановки t=tg

- если интеграл содержит радикал , и ad-gb¹0, то полагают

, x= , dx=

- если интеграл есть рациональная функция от e^х, то полагают e^x=t

(x=lnt, dx=dt/t).

в) Интегрирование по частям.

Если u=f(x) и v=w(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то (2)

Полезно знать, что

-если подынтегральная функция есть произведение алгебраической и трансцендентной функций или двух трансцендентных функций, то интегрирование осуществляется только по частям.

(Трансцендентные функции: In x, sin x, cosx, arcsinx,arctg x, и т.п.);

- если производная трансцендентной функции является алгебра­ической функцией, то эта трансцендентная функция выбирается в ка­честве u в формуле (2).

((lnx)'= u=lnx);

если производная трансцендентной функции есть трансцендент­ная функция, то в качестве u выбирается алгебраическая функция - для того, чтобы найти интеграл, формула (2) может приме­няться несколько раз;

в некоторых случаях с помощью (2) получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл.

Пример 3.

Следовательно,

г) Частный случай - интегрирование рациональных функций вида

где Р(х) и Q(x) - многочлены.

Интегрирование рациональных функций сводится к интегрирова­нию многочленов и нахождению интегралов следующих четырех типов:

1.

2.

3. заменой сводится к линейной комбинации интегралов:

4. заменой сводится к линейной комбинации интегралов:

и , (который можно вычислить по рекуррентной формуле).

Пример решения задачи № 6.

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить диффе­ренцированием.

а)

.

.

Следовательно,

, где С=С₁+С₂+...+С₆

Проверим результат дифференцированием:

Полученное выражение равно исходной подынтегральной функции

б)

Следовательно,

Проверим результат дифференцированием:

Полученное выражение равно исходной подынтегральной функции.

в)

.

Следовательно,

Проверим результат дифференцированием:

Полученное выражение равно исходному подынтегральному выражению.

Условия задачи 6.

а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4.а) ; б) ;

5. а) ; б) ;

6 .а) ; б) ;

7. а) б)

8. а) б)

9.а) б)

10.а) б) .

Задача 7. Найти определенный интеграл функции.

Для решения задачи № 7 необходимо знать следующее:

Формула Ньютона-Лейбница. Если , то

Свойства определенных интегралов.

а)

б)

в)

г)

д)

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f(x) - непрерывная функция на [a, b]. Тогда если:

функция x=j(t) - дифференцируема на [a, b] и j¢(t) непрерывна на [ a,b];

множеством значений функции x=j(t) является отрезок

[a, b];

j(a)=a и j(b)=b, то справедлива формула

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции u(x) и y(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b] , то справедлива формула :

Пример решения задачи №7.

Вычислить по формуле Ньютона- Лейбница интегралы.

Следовательно,

Условия задачи 7.

1.

2. .

3. .

4.

5.

6.

7.

8.

9. .

10. .

Задача 8.Для решения задачи №8 необходимо знать следующие понятия:

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение:

F(x,y,y')=0 (1)

связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=j(x) и ее производную y'.

Уравнение вида y'=f(x,y) называется разрешенным относительно производной.

Решением уравнения (1) называется функция y=j(x), удовлетворяющая этому уравнению.

Начальное условие для дифференциального уравнения первого порядка задается так:

y(x₀)=y₀ или y =y₀

(оно означает, что при x=x₀ функция у равняется заданному числу у₀)

Общим решением уравнения (1) называется функция у=j(х,С), зависящая от одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая уравнению (1) при любом значении С.

Частным решением уравнения (1) называется любая функция у=j(х,С), которая получается из общего решения у=j(х,с) при значении с=с₀.

Решением задачи Коши называется частное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям

y =y₀

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в котором искомая функция у и ее производная у' находятся в первой степени:

у'+p(x)y=q(x) (2)

или

a(x)y'+(x)y=c(x) (2')

где p(x), q(x), a(x), b(x), c(x) - заданные непрерывные функции от х.

Общее решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:

(3)

Пример решения задачи № 8.

Найти общее решение дифференциального уравнения xy+y=2xlnx+x,и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y₀=5 при x₀=1.

Решение.

Данное уравнение является линейным, так как y и y^' входят в него в первой степени. Запишем это уравнение в виде (2):

Подставим в формулу (3) общего решения значения p(x) и q(x):

Применим формулу интегрирования по частям к интегралу

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем теперь частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию y₀=5 при x₀=1.

, откуда следует, что С=5.

Решение поставленной задачи Коши .

Ответ: общее решение дифференциального уравнения ; частное решение , удовлетворяющее начальному условию y₀=5 при x₀=1: .

Условия задачи 8.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y₀ при x=x₀.

10.

Задача 9. Для решения задачи 9необходимо знать следующие понятия:

пусть задана числовая последовательность

Числовым рядом называется выражение вида: .

При этом числа называются членами ряда, а u_n общим членом ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S_n :

Числовой ряд (8) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм и этот предел S называется суммой ряда.

Если не существует или бесконечен ,то ряд (8) называется расходящимся .

Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (8)

сходится, то предел общего члена ряда равен нулю: .

Числовой ряд называется положительным, если все его члены положительны: a_n>0,n=1,2,...

Теорема 2 (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами то 1) ряд сходится при D<1;

ряд расходится при D>1.

В случае D=1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.

Теорема 3 (предельный признак сравнения положительных рядов). Если для общих членов двух положительных рядов

,то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. В качестве рядов сравнения используются либо ряд , который сходится при 0< q <1 b и расходится при q>1, либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при p>1

и расходится при p<1.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые его два ряда соседних члена имеют противоположные знаки:

(9)

Теорема 4 (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда (9) по абсолютной величине монотонно убывают и , то ряд (9) сходится, его сумма положительна и не превышает первого члена.

Степенным рядом называется ряд вида

(10)

где а₀,а₁,а₃,...,а_n,... - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если степенной ряд сходится при всех x, удовлетворяющих неравенству и расходится при , то число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R,R) называется интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда (10) определяется по формуле

Замечание 1. Внутри интервала сходимости степенной ряд сходится, а на концах интервала в точках x=R и x=-R может либо сходится ,либо расходится.

Теорема 5. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом радиус сходимости не меняется, но сходимость ряда на концах интервала может меняться.

Пример решения задачи 9.

а) Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Запишем три первых члена степенного ряда .

При n=0 .

При n=1 .

При n=2 .

Найдем радиус сходимости степенного ряда: ;

и

следовательно, промежуток (-2;2) является интервалом сходимости ряда.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках x=-2 и x=2.

При x=-2: .

Модуль общего члена ряда

и ,

поэтому общий член ряда не стремится к нулю и на основании необходимого признака сходимости ряд расходится.

При x=2:

и общий член последнего ряда не стремится к нулю: ,

поэтому ряд расходится. На обоих концах интервала сходимости ряд расходится.

Ответ: интервал сходимости степенного ряда (-2;2) на концах ин -

тервала сходимости ряд расходится.

б) Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Найдем радиус сходимости степенного ряда:

, , и

следовательно, множество является интервалом сходимости ряда.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках и :

при :

Получился числовой знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница (члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю).

При x=

Полученный ряд расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем . На ряд сходится.

Условия задачи 9.

Найти интервал сходимости ряда с общим членом и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Приложение 1

Рег.№____

«__»_______201__г.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по математике

Выполнил студент 1 курса направления

«________________________________________»

________________________________________________________________

(Ф.И.О.)

группа ___________________

Домашний адрес____________________________________________

Телефон_________________________________

Проверил _________________________________________

(Ф.И.О. преподавателя)

К.р._______________________________________________

(зачтена, не зачтена)

Дата_____________________