Основные правила дифференцирования.

Пусть - некоторая постоянная, , - функции, имеющие производные.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; .

6.Производная сложной функции.

Если функции и имеют конечные производные, то

7.Дифференцирование функции, заданной параметрически..

Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

где -вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная функции, заданной параметрически определяется по правилу

Или .

8. Производная обратной функции.

Пусть функция в некоторой окрестности точки возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция дифференцируема, в точке и производная отлична от нуля. Тогда обратная функция определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .

9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные и есть:

Пример 1.Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение.Зададим приращение , такое, что .

Тогда

;

Поэтому

;

Переходим к пределу при :

;

т.е. .

Пример 2.Исходя из определения производной функции, найти производную функции .

Решение.Находим

Откуда

и, следовательно

.

Итак, .

. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. .

10. ;

Пример 3.Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 4.Найти производную .

Решение.Берем производную от как сложной функции

, где , .

, где ,

;

Итак,

.

Пример 5. Найти производную функции

Решение.Имеем , откуда

,

.

Пример 6.Найти , если , .

Решение. Имеем

Пример 7.Найти производную .

Решение.Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .

Согласно вышеуказанному утверждению, функция дифференцируема в любой точке и для ее производной справедлива формула .

Итак, .

Пример 8.Вычислить производную .

Решение.Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим:

.

Мы взяли перед корнем знак +, т.к. положителен всюду на интервале .

Итак .

Понятие дифференциала.

Пусть функция имеет в точке конечную производную , тогда ее приращение можно записать в виде

,

где .

Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается :

.

При , получим , поэтому дифференциал функции примет вид

.

Основные свойства дифференциала

1) где = const,

2)

3) ,

4) ,

5)

6) .