Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные дифференци­альные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Понятие о диффе­ренциальном уравнении первого порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения в науке и технике.

Тема 1.3 Простейшие дифференциальные уравнения в частных

Производных.

Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциаль­ные уравнения линейные относительно частных производных.

Тема 1.4 Ряды.

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функ­циональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.

Раздел 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

Тема 2.1 Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятно­стей.

Основные понятия комбинаторики. Понятие события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Тема 2.2 Случайная величина, ее функция распределения

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайная величины. Закон распре- деления случайной величины.

Тема 2.3 Математическое ожидание и дисперсия случайной величи­ны.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Тема 3.Дифференциальные уравнения

[2] §4- 8,10 [4] § 57- 64

3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными

Пример1. Решать уравнение: ху^, - у = у³

Решение: т.к. = d /dx, то хdy/dx – y = ,откуда хdy = ( + у) dx, разделим обе части

Уравнения на произведение ху(у²+1): dy/y(y²+) = dx/x преобразуем дробь 1/у(у² + 1) =

(у² + 1 – у²)/ у(у² + 1) = (у² + 1)/ (у(у² + 1)) – у² (у(у² + 1)) = 1/у-у/(у² + 1), интегрируем

Пример2. Решить уравнение 2sinydx + (x²+3)cosydy=0

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при х=1

Решение: Разделим каждый член уравнения на произведение (х²+3) siny

проинтегрируем

In(x³+3)+In(siny)=Inc,

In(x²+3) ∙(siny)=Inc,

(x²+3) ∙ (siny)=c

siny= - общее решение

1= частное решение

Ответ: sin y= -

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пример1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Пусть у=uv, тогда у=

пусть

тогда