Непрерывность функции в точке
Задание №1.
1. Записать число 
в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразив его на комплексной плоскости.
2. Вычислить 
3. Вычислить 
4. Составить квадратное уравнение, одним из корней которого является число .
Задание №2.
Вычислить пределы.
Задание №3.
Подобрать параметры 
и 
таким образом, чтобы функция 
была непрерывна.
Задание №4.
Продифференцировать функции по переменной 
.
Задание №5.
Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.
Вариант 1
Задание №1.1. 
; 2. 
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
3. 
Задание №5. 
.
Вариант 2
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
2. 
3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
3. 
Задание №5. 
.
Вариант 3
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 4
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
3. 
Задание №5. 
.
Вариант 5
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
3 
Задание №5. 
.
Вариант 6
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
3. 
Задание №5. 
.
Вариант 7
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 8
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 9
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 10
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 11
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 12
Задание №1.1. 
; 2. 
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 13
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 14
Задание №1. 1. 
; 2. 
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 15
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 16
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 17
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
;
3. 
Задание №5. 
Вариант 18
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 19
Задание №1. 1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 20
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 21
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2. 1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
Вариант 22
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 23
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 24
Задание №1.1.
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 25
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 26
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 27
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 28
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 29
Задание №1.1. 
; 2. 
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Вариант 30
Задание №1.1. 
; 2.
.
Задание №2.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №5. 
.
Справочный материал
Комплексные числа
Алгебраической формой комплексного числа 
называется выражение вида 
, где 
и 
– действительные числа, а 
– так называемая мнимая единица ( 
).
Число называется действительной частью комплексного числа ( 
), число - мнимой частью ( 
).
Два комплексных числа 
и 
, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Пусть даны два комплексных числа 
и 
. Они равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. 
.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме задаются формулами
1. 
2. 
В частности 
;
3. 
.
Комплексное число 
можно изобразить на плоскости 
в виде точки 
или радиус-вектора 
.
Длина вектора 
называется модулем комплексного 
числа и обозначается 
или 
, а угол 
между вектором у М
и положительным направлением оси 
называется
аргументом этого комплексного числа. О х х
Главным называется значение аргумента 
.
Очевидно, что 
(1)
Полученная запись комплексного числа называется тригонометрической формой.
Модуль и аргумент комплексного числа определяются по формулам
Используя формулу Эйлера 
комплексное число 
можно записать в показательной форме 
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются по формулам:
1. 
2. 
3. 
(2)
4. 
.
В частности 
.
Пределы
Для нахождения пределов функции используются следующие теоремы. Если существуют пределы 
и 
, то
1. 
;
2. 
;
В частности, 
, где 
;
3. 
.
Аналогичные теоремы справедливы для пределов последовательностей.
Имеют место два замечательных предела:
1. 
; 2. 
.
Следствия:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
5. 
; 6. 
; 7. 
.
Для раскрытия неопределённостей вида 
и 
используют правило Лопиталя. Пусть функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки 
(быть может кроме неё самой); 
или 
и 
. Тогда, если существует предел 
, то 
(3)
Непрерывность функции в точке
Функция называется непрерывной в точке 
, если
. (4)
Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке
и её окрестности и имеет предел при 
.
Равенство (4) эквивалентно равенству
, (5)
где 
– лево и правосторонние пределы функции в точке 
.
Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва 
называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева 
и справа и 
. При этом, если 
, то точка называется точкой устранимого разрыва; а если 
, то точкой конечного разрыва.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.
Производная
Правила дифференцирования
Пусть 
, тогда
1. 
;
2. 
; в частности: 
, 
;
3. 
;
4. если 
, где 
, тогда 
.
Таблица производных
1. 
; 2. 
3. 
; в частности: 
;
4. 
; в частности: 
;
5. 
; 6. 
;
7. 
; 8. 
;
9. 
;
10. 
.
5. Исследование функции и построение её графика
Основные свойства функций
1.Функция 
называется возрастающей (убывающей) на множестве 
, если для любых 
.
2. Функция называется периодической, если существует число 
такое, что 
. 
–периодфункции.
3. Функция называется четной, если 
. График четной функции симметричен относительно оси
. Функция называется нечетной, если 
. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная и нечетная функция должна иметь область определения симметричную относительно начала координат.