Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность

Утверждение. Каждая функция, которую реализует автомат, является ограниченно-детерминированной, и для любой ограниченно-детерминированной функции существует автомат её вычисляющий.

Для доказательства удобно рассматривать графовое представление автомата. Каждому состоянию автомата поставим в соответствие некоторую вершину графа. Переходы обозначим ориентированными ребрами и определим их по функции переходов и выходов автомата следующим образом. Пусть на паре значений функции переходов равно , а значение функции выходов , тогда из вершины в вершину направляем ориентированное ребро и помечаем ребро парой , где – входной символ и – выходной.

По любому входному слову можно определить выходное слово . следующим образом. Входное слово однозначно определяет некоторый путь в графе автомата, который помечен этим словом ( в силу однозначности и всюду определенности функций переходов и выходов автомата). Тогда, взяв соответствующие выходные буквы на ребрах данного пути мы получим требуемое выходное слово автомата на входе .

Очевидно, что выход автомата длины определен входом длины и не зависит от последних букв, которые будут подаваться автоматом в моменты времени . Таким образом, любой автомат вычисляет детерминированную функцию.
Если пара слов и ведет в одно и то же состояние автомата , то его остаточные функции и будут равными. Какое бы слово не дописали к словам и , остаточный выход слова данного автомата будет один и тот же, т.к. на началах и автомат попадает в одно и то же состояние , а выходное слово однозначно определяется текущим состоянием и остаточным словом в текущий момент. Поэтому число остаточных функций не более числа состояний автомата, а это число конечно.

Таким образом, показано, что функция, которую вычисляет любой конечный автомат является ограниченно- детерминированной.

Теперь покажем, что для любой ограниченно-детерминированоой функции можно сопоставить конечный автомат, который ее вычисляет (т.е любая ограниченно-детерминированная фукция является автоматной).

Рассмотрим ограниченно-детерминированную функцию и построим по ней автомат, который ее вычисляет. Рассмотрим все различные остаточные функции которые соотвествуют конечным словам . Считаем, что – пустое слово, а соответствующая ему остаточная функция есть функция .

На множестве всех конечных слов введем отношение эквивалентности. Пару слов и объявим эквивалентными тогда и только тогда, когда соответствующие остаточные функции и равны. Нетрудно проверить, что данное определение действительно дает отношение эквивалентности на множестве конечных слов.

В итоге все множество конечных слов разбивается на классы эквивалентности, одним из представителей которых являются выбранные нами слова . Построим автомат.

Каждому слову поставим в соответствие состояние автомата, которое обозначим также символами .

Функцию переходов и функцию выходов автомата в состоянии построим по следующему правилу. К слову добавляем букву входного алфавита , в результате получим слово . Применяя ограниченно-детерминированную функцию, получаем , где – слово, а – буква выходного алфавита. Для слова находим эквивалентного представителя среди . Тогда из вершины направляем ориентированное ребро в вершину и помечаем это ребро парой букв . Данное построение совершаем для всех представителей и всех входных букв .

Начальным состоянием автомата объявляем (пустое слово).

В результате получаем всюду определенный и однозначный автомат.

Покажем корректность построения, т.е. что автомат действительно вычисляет ограниченно-детерминированную функцию .

Для этого достаточно доказать следующее утверждение.

Утверждение. Входное слово эквивалентно выбранному представителю тогда и только тогда, когда слова и в графе построенного автомата ведут в одно и то же состояние .

Доказательство.

Пусть слово ведет в состояние представителя . Покажем индукцией по длине слова , что . Для пустого слова утверждение очевидно (слово длины 0 есть пустое слово- оно соответствует начальному состоянию). Пусть утверждение доказано для слов длины не более , докажем его для слова длины Т.е. - слово имеет слово длины началом и оканчивается на букву . Пусть слово ведет в состояние представителя . Тогда по предположению индукции .

Замечание

Если к эквивалентным словам добавить любое, одно и тоже оканчание, то плученные слова также являются эквивалентными.

Если предположить противное: , но при некотором получим не эквивалентные слова , тогда остаточные функции слов не равны, тогда слова не эквивалентны.

Таким образом, . Также по построению имеем .

По транзитивности отношения эквивалентности имеем .

Из доказанного непосредственно следует, что слова ведут в одно и тоже состояние

, тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Если ведут в одно и тоже состояние , то по доказанному они эквивалентны , поэтому по транзитивности эквивалентны между собой. Пусть теперь ведет ( по доказанному ), а ведет в другое состояние ( по доказанному ) т.е. . Предположив противное , получим ). Противоречие. Утверждение доказано.

Основное утверждение корректности справедливо в силу замечания, и того факта, что слова ведущие в одно и тоже состояние автомата соответствуют одной и тойже остаточной функции.

7.2 Схемы автоматов.

Подобно конечным двоичным функциям, можно рассмотреть возможность представления автомата в виде схемы функциональных элементов. Отличие в том, что автомат имеет конечную память. Чтобы реализовать возможность памяти используется элемент задержки, выход которой в момент времени t+1 равен входу в предыдущий момент времени t, t=0…

Автомат однозначно определяется следующими итеративными соотношениями:

где – дискретное время , – начальное состояние автомата (соответствующее начальному моменту времени ),

и – входные состояние и символ на ленте, – выходной символ автомата в момоент времени функционирования автомата.

Элементом задержкой называют автомат, который осуществляет следующее преобразование:

Т.о. выход автомата в момент времени является входом этого автомата в предыдущий момент времени . Это преобразование действительно автоматное, оно записывается следующими итеративными соотношениями ( ):

Постройте диаграмму автомата-задержки. Постройте диаграмму автомата-сумматора, который вычисляет сумму двух двоичных чисел (биты входных чисел считывать слева направо).

Рассмотрим базис из функциональных символов .

Функциональная схема в базисе определяется аналогично схеме из функциональных символов , , .

Определение

Схемой в базисе на множестве входов , с множеством выходов называется ориентированный граф с возможными циклами, входам которого (вершины из которых нет входящих ребер) приписаны входные переменные , выходам которой (вершины, в которые нет выходящих ребер) приписаны выходные переменный , остальным вершинам приписаны функциональные элементы базиса , причем в каждом цикле есть хотябы один элемент задержки.

Замечание. В схеме, однако, допускаются циклы, но каждый цикл обязательно содержит хотя бы одну задержку.

Например, схема на рисунке имет входы– и выход – . Общая схема в рассмотренном базисе функционирует во времени..

Определение. Каждая схема в рассмотренном базисе реализует некоторую автоматную функцию следующим образом.

Рассмотрим произвольную схему в данном базисе. Пусть входам этой схемы приписаны переменные , а выходам переменные . Также элементы задержки приписаны вершинам . Входы этих вершин приписаны вершинам . Далее в графе схемы удалим ребра, сосединяющие вершины с ( ). Т.к. каждый цикл первоначального графа содержит хотя бы один элемент задержки, то получим после преобразования ациклический граф.

Объявим новыми входами схемы и припишем им входные переменные , а вершины объявим новыми выходами схемы, и припишем им переменные . Новые входы и выходы находятся во взаимно однозначном соответствии. Выходной переменной будет соответствовать входная переменная . Т.к. получена схема из функциональных элементов , то она определяет некоторый двоичный оператор . Выход есть двоичная функция от входных переменных .

Точно так же . есть некоторая функция от входных переменных. Естественно считать, что преобразование одномоментное, т.е. все преобразования производятся в один и тотже момент времени.

Теперь возвратимся к начальной схеме вычислений, т.е. восстановим элементы задержки выходного элемента задержки в момент времени . . Заменяя соответствующие переменные на , получаем автоматное преобразование:

Это и есть функциональное определение автомата.

Утверждение. Для каждой ограниченно-детерминированной функции существует схема в базисе , которая реализует данную автоматную функцию.

Доказательство.

Рассмотрим некоторое функциональное соотношение и построим схему, которая ее осуществляет. Не теряя общности будем считать, что алфавит входа и выхода . В противном случае можно перейти к алфавиту.

Рассмотрим соответствующие операторы и автомата как одномоментные выполнимые в один и тотже момент времени t. Это обычные двоичные операторы, каждый компонент которого – некоторая двоичная функция:

, векторная функция размерности .

, векторная функция размерности .

Т.к. это обычные двоичные операторы, то мы их можем реализовывать обычной функциональной схемой . Изобразим это представление на рисунке.

Схема слева реализует одномоментные операторы и : и . Введем задержку между входом и выходом . Когда вводится элемент задержки, то входные/выходные элементы связываются соотношением . Подставляя эти соотношения в предыдущие функции равенства, получаем искомую автоматную функцию: рисунок схемы справа.