Опис лабораторної установки. Мета роботи: експериментальне дослідження частотної залежності напруги на конденсаторі при вимушених коливаннях у послідовному коливальному контурі

Лабораторна робота №3-17

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ В ПОСЛІДОВНОМУ

КОЛИВАЛЬНОМУ КОНТУРІ

Мета роботи: експериментальне дослідження частотної залежності напруги на конденсаторі при вимушених коливаннях у послідовному коливальному контурі. Визначення резонансної частоти, смуги пропускання та добротності контура.

Теоретичні відомості

Вимушені коливання в послідовному контурі. Коливання, що відбуваються внаслідок періодичного зовнішнього впливу на будь-яку фізичну систему, називаються вимушеними. Особливий інтерес являють вимушені коливання осциляторів, тобто, систем, у яких можливі вільні коливання. Прикладом електромагнітного осцилятора є послідовний коливальний контур, - електричне коло, що складається з котушки індуктивності L, конденсатора ємності С і резистора з опором R. Для створення вимушених коливань у контур включають джерело (генератор) змінної ЕРС E(t). У даній роботі досліджується послідовний контур, схема якого показана на (рис. 1). Під дією генератора в контурі виникають і підтримуються вимушені електромагнітні коливання, тобто, періодичні зміни напруги на елементах контура та струму в ньому.

Рис. 1.

Найпростішим і найважливішим у теорії видом коливань є гармонічні вимушені коливання, що створюються генератором з ЕРС

(1)

За законом Ома для ділянки кола квазістаціонарного електричного струму (струму, величина якого в даний момент однакова у всіх елементах кола) можна записати:

, (2)

де UC = - різниця потенціалів (напруга) на обкладках конденсатора, UR = ІR - напруга на опорі R, Es = - L(dІ/dt) - ЕРС самоіндукції в котушці, - ЕРС генератора (1), внутрішній опір якого вважається малим у порівнянні з R.

Виразимо величини UC та І через заряд конденсатора q: UC = q/C, І = dq/dt, тоді = - L(d2І/dt2). Зробивши такі підстановки в (2), і, поділивши на L, одержимо диференціальне рівняння вимушених електричних коливань у контурі:

,

або

(3),

де - власна частота контура, тобто, частота вільних коливань у цьому контурі за умови R = 0, і b = R/2L- коефіцієнт загасання контура.

Рівняння (3) являє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. З математики відомо, що його загальний розв’язок складається із загального розв’язку qo(t) відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку q(t) повного рівняння. Однорідна частина (3) має вигляд

і відповідає вільним загасаючим коливанням у контурі, амплітуда яких змінюється за законом А(t) = q0e-bt ([1], § 12.2, або [2], § 11.2.). Такі коливання виникають у момент включення генератора й відіграють суттєву роль тільки протягом невеликого проміжку часу ~ 1/b, після якого в контурі встановлюються стаціонарні гармонічні коливання з частотою генератора w і сталою амплітудою. Тому частинний розв’язок рівняння (3), що відповідає незагасаючим вимушеним коливанням заряду конденсатора контура можна подати у вигляді:

, (4)

де q0 - амплітуда, а j0 - зсув фаз між коливаннями заряду конденсатора та ЕРС генератора.

Після підстановки (4) у (3) можна отримати ([1], § 12.3, або [2], § 11.3.) такі вирази q0 і j0:

, (5)

. (6)

На практиці режим контура визначають не зарядом конденсатора, а напругою на різних елементах і силою струму в контурі. Зокрема, з урахуванням (4), рівняння вимушених коливань напруги на конденсаторі UС = q/C має вигляд:

,

де амплітуда напруги

(7)

Продиференціювавши (4) по t, знайдемо рівняння вимушених коливань сили струму I = dq/dt у контурі:

, (8)

де амплітуда струму І0 і зсув фаз j між вимушеними коливаннями струму та ЕРС генератора визначаються виразами:

, (9)

. (10)

Амплітудні характеристики контура. Резонанс. Характерною особливістю вимушених коливань є залежність (причому не монотонна) їх амплітуди від частоти, що випливає з виразів (7) і (9), які називаються амплітудними характеристиками контура. Справді, якщо частоту w поступово збільшувати, починаючи з нуля, то величина wо2 - w2 у знаменнику цих виразів спочатку зменшується, потім проходить через 0 і далі необмежено зростає. Відповідно, амплітуда вимушених коливань спочатку зростає, потім сягає максимуму, й далі асимптотично прямує до нуля. Отже, в коливальному контурі можливий резонанс - зростання амплітуди вимушених коливань до максимальної величини при наближенні частоти коливань до певного значення wрез, яке називають резонансною частотою.

Резонансну частоту напруги на конденсаторі wu можна знайти, дослідивши вираз (7) на екстремум. Для цього в (7) треба продиференціювати по w підкорінний вираз і прирівняти похідну до нуля. Результат виходить такий:

. (11)

Отже, резонансна частота напруги на конденсаторі менша, ніж власна частота контура, причому, тим менша, чим більше загасання b. Аналогічно, диференціюванням по w виразу (9), знаходиться резонансна частота сили струму wі, яка виявляється рівною власній частоті контура:

. (12)

З огляду на явище резонансу, амплітудні характеристики, зокрема, UС0 = UС0(w) та І0 = І0(w), інакше називають резонансними характеристиками, а їх графіки - резонансними кривими. На рис.2 показано вид резонансних кривих напруги на конденсаторі контура для трьох різних значень загасання, а на рис.3 - аналогічні резонансні криві сили струму в послідовному контурі.

Рис.2

Рис.3

Характерно, що резонансні криві тим вужчі й вищі (тим гостріший резонанс), чим менше загасання контура. Це цілком природньо, оскільки при зменшенні загасання зменшуються втрати енергії коливань.

Існує зв’язок між резонансними кривими й іншою характеристикою контура - його добротністю Q (про добротність див. [1], § 11.2.). При слабкому загасанні (b<<w0) добротність виражається через параметри контура формулою

Q = . (13)

Якщо в (7) замість w підставити значення (11), то вийде такий вираз для резонансної амплітуди напруги Uт на конденсаторі:

.

При слабкому загасанні величина b 2 під коренем є нехтовною, і = . Отже, добротність контура

. (13а)

Таким чином, на конденсаторі послідовного контура відбувається підсилення напруги, а добротність виступає в якості коефіцієнта підсилення. На цьому базується вся техніка приймання радіосигналів. У кожному радіоприймачі є вхідні контури, в яких можна на свій розсуд установлювати резонансну частоту і, тим самим, різко підсилювати сигнал тільки від обраної станції (налаштовуватися на дану станцію).

Якщо в (9) замість w підставити вираз (12), отримаємо резонансну амплітуду струму Іт:

. (14)

З параметрів резонансної кривої струму теж можна визначити добротність контура Q при слабкому загасанні. Можна показати, що в цьому випадку вона визначається, як

. (15)

Величина Dw = w2 - w1 називається шириною резонансної кривої або смугою пропускання контура; частоти w1 і w2 відповідають амплітуді струму І0 = , рис. 3.(резонансна крива, на якій відмічено рівень і частóти w1 і w2) При такій амплітуді струму на опорі R виділяється половина резонансної потужності.

Опис лабораторної установки

Для вивчення вимушених коливань у контурі використовується установка, зображена на Рис.4

Рис. 4

За допомогою цієї установки можна вивчити залежність напруги на конденсаторі C (перемикач К1 у положенні 2) або на опорах R1 - R3 (перемикач К1 у положенні 1) від частоти w зовнішнього генератора. Вимірювання напруги діючої здійснюється за допомогою цифрового вольтметра V . Активний опір контура можна змінювати за допомогою резисторів R1 - R3 та перемикачів К2 - К4.

Порядок виконання роботи

1. Увімкнути звуковий генератор в мережу. Встановити на виході генератора напругу 10 В.

2. Установити перемикач К1 в положення 2, К2 у положення 1, К3 у положення 2 і К4 у положення 2. (При цьому в контур буде увімкнений опір R1). Змінюючи частоту генератора f, знайти резонансну частоту fи, при якій напруга на конденсаторі буде максимальною Uс0 = Uст. Значення fи та Uст занести до табл. 1.

3. Зменшуючи й збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (узяти 8-10 значень), виміряти амплітуди напруги Uс0 Значення f і Uс0 занести до табл. 1.

Табл. 1

R1 fи                  
0                  
R2 fи                  
0                  
R3 fи                  
0                  

4. Перевести перемикач К1 у положення 1. (При цьому вольтметр V буде показувати напругу на опорі контура). Змінюючи частоту генератора, знайти резонансну частоту fі, при якій напруга на резисторі R1 буде максимальною. Обчислити амплітуду напруги U на резисторі R1 при резонансній частоті fі. Значення R1, fі та U занести до табл. 2.

5. Зменшуючи і збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (взяти 8-10 значень частоти), обчислити амплітуди напруги UR0 Значення fi та UR0 занести до табл. 2. Для кожного значення UR0 знайти амплітуду струму І0 = UR0/R і занести результат у табл. 2.

Tабл. 2.

R1 fi                  
UR0                  
І0                  
R2 fi                  
UR0                  
І0                  
R3 fi                  
UR0                  
І0                  

6. Виміри п.п. 2 - 5 повторити при опорі контура R2 та R3. Вибір опорів здійснити за допомогою перемикачів К2 – К4.

Наши рекомендации