Опис лабораторної установки. Мета роботи: експериментальне дослідження частотної залежності напруги на конденсаторі при вимушених коливаннях у послідовному коливальному контурі

Лабораторна робота №3-17

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ В ПОСЛІДОВНОМУ

КОЛИВАЛЬНОМУ КОНТУРІ

Мета роботи: експериментальне дослідження частотної залежності напруги на конденсаторі при вимушених коливаннях у послідовному коливальному контурі. Визначення резонансної частоти, смуги пропускання та добротності контура.

Теоретичні відомості

Вимушені коливання в послідовному контурі. Коливання, що відбуваються внаслідок періодичного зовнішнього впливу на будь-яку фізичну систему, називаються вимушеними. Особливий інтерес являють вимушені коливання осциляторів, тобто, систем, у яких можливі вільні коливання. Прикладом електромагнітного осцилятора є послідовний коливальний контур, - електричне коло, що складається з котушки індуктивності L, конденсатора ємності С і резистора з опором R. Для створення вимушених коливань у контур включають джерело (генератор) змінної ЕРС E(t). У даній роботі досліджується послідовний контур, схема якого показана на (рис. 1). Під дією генератора в контурі виникають і підтримуються вимушені електромагнітні коливання, тобто, періодичні зміни напруги на елементах контура та струму в ньому.

Рис. 1.

Найпростішим і найважливішим у теорії видом коливань є гармонічні вимушені коливання, що створюються генератором з ЕРС

(1)

За законом Ома для ділянки кола квазістаціонарного електричного струму (струму, величина якого в даний момент однакова у всіх елементах кола) можна записати:

, (2)

де U_C = - різниця потенціалів (напруга) на обкладках конденсатора, U_R = ІR - напруга на опорі R, E_s = - L(dІ/dt) - ЕРС самоіндукції в котушці, - ЕРС генератора (1), внутрішній опір якого вважається малим у порівнянні з R.

Виразимо величини U_C та І через заряд конденсатора q: U_C = q/C, І = dq/dt, тоді = - L(d²І/dt²). Зробивши такі підстановки в (2), і, поділивши на L, одержимо диференціальне рівняння вимушених електричних коливань у контурі:

або

(3),

де - власна частота контура, тобто, частота вільних коливань у цьому контурі за умови R = 0, і b = R/2L- коефіцієнт загасання контура.

Рівняння (3) являє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. З математики відомо, що його загальний розв’язок складається із загального розв’язку q^o(t) відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку q(t) повного рівняння. Однорідна частина (3) має вигляд

і відповідає вільним загасаючим коливанням у контурі, амплітуда яких змінюється за законом А(t) = q₀e^-^b^t ([1], § 12.2, або [2], § 11.2.). Такі коливання виникають у момент включення генератора й відіграють суттєву роль тільки протягом невеликого проміжку часу ~ 1/b, після якого в контурі встановлюються стаціонарні гармонічні коливання з частотою генератора w і сталою амплітудою. Тому частинний розв’язок рівняння (3), що відповідає незагасаючим вимушеним коливанням заряду конденсатора контура можна подати у вигляді:

, (4)

де q₀ - амплітуда, а j₀ - зсув фаз між коливаннями заряду конденсатора та ЕРС генератора.

Після підстановки (4) у (3) можна отримати ([1], § 12.3, або [2], § 11.3.) такі вирази q₀ і j₀:

, (5)

. (6)

На практиці режим контура визначають не зарядом конденсатора, а напругою на різних елементах і силою струму в контурі. Зокрема, з урахуванням (4), рівняння вимушених коливань напруги на конденсаторі U_С = q/C має вигляд:

де амплітуда напруги

(7)

Продиференціювавши (4) по t, знайдемо рівняння вимушених коливань сили струму I = dq/dt у контурі:

, (8)

де амплітуда струму І₀ і зсув фаз j між вимушеними коливаннями струму та ЕРС генератора визначаються виразами:

, (9)

. (10)

Амплітудні характеристики контура. Резонанс. Характерною особливістю вимушених коливань є залежність (причому не монотонна) їх амплітуди від частоти, що випливає з виразів (7) і (9), які називаються амплітудними характеристиками контура. Справді, якщо частоту w поступово збільшувати, починаючи з нуля, то величина w_о² - w² у знаменнику цих виразів спочатку зменшується, потім проходить через 0 і далі необмежено зростає. Відповідно, амплітуда вимушених коливань спочатку зростає, потім сягає максимуму, й далі асимптотично прямує до нуля. Отже, в коливальному контурі можливий резонанс - зростання амплітуди вимушених коливань до максимальної величини при наближенні частоти коливань до певного значення w_рез, яке називають резонансною частотою.

Резонансну частоту напруги на конденсаторі w_u можна знайти, дослідивши вираз (7) на екстремум. Для цього в (7) треба продиференціювати по w підкорінний вираз і прирівняти похідну до нуля. Результат виходить такий:

. (11)

Отже, резонансна частота напруги на конденсаторі менша, ніж власна частота контура, причому, тим менша, чим більше загасання b. Аналогічно, диференціюванням по w виразу (9), знаходиться резонансна частота сили струму w_і, яка виявляється рівною власній частоті контура:

. (12)

З огляду на явище резонансу, амплітудні характеристики, зокрема, U_С0 = U_С₀(w) та І₀ = І₀(w), інакше називають резонансними характеристиками, а їх графіки - резонансними кривими. На рис.2 показано вид резонансних кривих напруги на конденсаторі контура для трьох різних значень загасання, а на рис.3 - аналогічні резонансні криві сили струму в послідовному контурі.

Рис.2

Рис.3

Характерно, що резонансні криві тим вужчі й вищі (тим гостріший резонанс), чим менше загасання контура. Це цілком природньо, оскільки при зменшенні загасання зменшуються втрати енергії коливань.

Існує зв’язок між резонансними кривими й іншою характеристикою контура - його добротністю Q (про добротність див. [1], § 11.2.). При слабкому загасанні (b<<w₀) добротність виражається через параметри контура формулою

Q = _.(13)

Якщо в (7) замість w підставити значення (11), то вийде такий вираз для резонансної амплітуди напруги U_т на конденсаторі:

При слабкому загасанні величина b² під коренем є нехтовною, і = . Отже, добротність контура

. (13а)

Таким чином, на конденсаторі послідовного контура відбувається підсилення напруги, а добротність виступає в якості коефіцієнта підсилення. На цьому базується вся техніка приймання радіосигналів. У кожному радіоприймачі є вхідні контури, в яких можна на свій розсуд установлювати резонансну частоту і, тим самим, різко підсилювати сигнал тільки від обраної станції (налаштовуватися на дану станцію).

Якщо в (9) замість w підставити вираз (12), отримаємо резонансну амплітуду струму І_т:

. (14)

З параметрів резонансної кривої струму теж можна визначити добротність контура Q при слабкому загасанні. Можна показати, що в цьому випадку вона визначається, як

. (15)

Величина Dw = w₂ - w₁ називається шириною резонансної кривої або смугою пропускання контура; частоти w₁ і w₂ відповідають амплітуді струму І₀ = , рис. 3.(резонансна крива, на якій відмічено рівень і частóти w₁ і w₂) При такій амплітуді струму на опорі R виділяється половина резонансної потужності.

Опис лабораторної установки

Для вивчення вимушених коливань у контурі використовується установка, зображена на Рис.4

Рис. 4

За допомогою цієї установки можна вивчити залежність напруги на конденсаторі C (перемикач К1 у положенні 2) або на опорах R1 - R3 (перемикач К1 у положенні 1) від частоти w зовнішнього генератора. Вимірювання напруги діючої здійснюється за допомогою цифрового вольтметра V . Активний опір контура можна змінювати за допомогою резисторів R1 - R3 та перемикачів К2 - К4.

Порядок виконання роботи

1. Увімкнути звуковий генератор в мережу. Встановити на виході генератора напругу 10 В.

2. Установити перемикач К1 в положення 2, К2 у положення 1, К3 у положення 2 і К4 у положення 2. (При цьому в контур буде увімкнений опір R1). Змінюючи частоту генератора f, знайти резонансну частоту f_и, при якій напруга на конденсаторі буде максимальною Uс₀ = Uс_т_. Значення f_и та Uс_т занести до табл. 1.

3. Зменшуючи й збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (узяти 8-10 значень), виміряти амплітуди напруги Uс₀Значення f і Uс₀ занести до табл. 1.

Табл. 1

R1	f_и
Uс₀
R2	f_и
Uс₀
R3	f_и
Uс₀

4. Перевести перемикач К1 у положення 1. (При цьому вольтметр V буде показувати напругу на опорі контура). Змінюючи частоту генератора, знайти резонансну частоту f_і, при якій напруга на резисторі R1 буде максимальною. Обчислити амплітуду напруги U_Rт на резисторі R1 при резонансній частоті f_і. Значення R1, f_і та U_Rт занести до табл. 2.

5. Зменшуючи і збільшуючи частоту генератора в обидва боки від резонансної частоти (взяти 8-10 значень частоти), обчислити амплітуди напруги U_R0Значення fi та U_R0 занести до табл. 2. Для кожного значення U_R0 знайти амплітуду струму І₀ = U_R0/R і занести результат у табл. 2.

Tабл. 2.