Точные и приблизительные вычисления

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

В практике вычислений приходиться выполнять главным образом приближенные вычисления. При решении той или иной задачи иногда можно получить точный числовой ответ, но найти его довольно сложно, а на практике точное значение искомой величины часто бывает не нужно, зачастую высокая точность ответа не имеет никакого практического смысла. Бывает и иначе: найти точный ответ вообще невозможно. Поясним сказанное примерами.

Пример 1. Пассажир живет на расстоянии 1320м от платформы вокзала. За сколько времени до отхода поезда пассажир должен выйти из дому при скорости 5км/ч?

Можно получить точное решение задачи: пассажир должен выйти из дому за 15 мин 50,4 сек! Однако вряд ли в действительности кто-либо стал бы пользоваться этим точным математическим решением, и вот почему. Вычисления выполнены совершенно точно, но точно ли измерено расстояние до платформы? Да и можно ли вообще измерить путь пешехода, не допустив никаких погрешностей? А скорость 5 км/ч - разве она определена абсолютно точно?

Вполне понятно, что каждый отдаст предпочтение не «математически точному», а «практическому» решению этой задачи, т.е. прикинет, что надо идти 15-20 минут, и прибавит еще несколько минут для гарантии.

Для чего же в таком случае вычислять секунды и их десятые доли и стремиться к той степени точности, которой нельзя воспользоваться на практике?

Пример 2. Требуется вычислять объем параллелепипеда, длины ребер которого равны а =3,42 м, b = 4,37 м, c = 3,27 м ( предполагается, что все эти числа - точные). Применяя формулу объема параллелепипеда V=a^·b^·c, можно получить точное значение объема: 48,871458 м³ . Мы получили многозначное число, неудобное для практического использования. Нужна ли такая точность? В известных условиях может быть и нужна. Если производится физический эксперимент, изучается некоторое явление в камере, имеющей форму параллелепипеда, и требуется точно вычислить объем, то полученный ответ мы и используем без всяких изменений.

Но пусть наш параллелепипед - это комната, объем которой требуется определить. При этом a, b, c (ширина, длина, высота) найдены путем измерения обыкновенной линейкой, так что при измерении длины возможна погрешность до 1см. Погрешность сомножителей оказывает влияние на полученный результат. Теория приближенных вычислений показывает, что погрешность результата умножения может достичь 0.4 м³. Ясно, что в полученном ответе все цифры справа от запятой не имеют никакого смысла. Округляя, получаем приближенный ответ: V 49 м³. Более точного результата мы добиться не можем, так как исходные данные a, b, c лишь приближенные значения длины, ширины, высоты. К тому в данных условиях знать объем с большей точностью вовсе и не требуется .

Существуют три источника получения чисел: счет, измерения и выполнение различных математических операций.

В результате счета мы получаем целое положительное число. Это число принципиально всегда является точным. Однако на практике часто бывает трудно произвести операцию счета, и тогда число оказывается приближенным. Например, было подсчитано, что население некоторого города к 1 января 1974г. составляло 143 278 человек. Мы не уверены, что это число точно, так как полный учет всех жителей осуществить трудно: люди непрерывно уезжают и приезжают, рождаются и умирают.

В результате измерения всегда получается приближенное значение величины. Любое измерение нельзя выполнить абсолютно точно. При выполнении измерения тем или иным прибором неизбежна некоторая погрешность («ошибка прибора», «ошибка измерения»).

Математические операции также не всегда можно выполнять точно, без погрешностей. Из курса программирования нам уже известно, что данные вещественного типа ( например, REAL в Паскале) представляются неточно из-за ограниченности разрядной сетки вычислительной машины. Даже при вычислениях без компьютера: если сложение, вычитание, умножение можно выполнить точно, то извлечение корня, нахождение логарифма числа и многие другие операции, как правило, можно выполнить только приближенно.

В зависимости от того, откуда взяты данные числа и какова природа математических операций, которые мы производим, могут быть такие случаи:

1) возможно получить точный результат;

2) возможно получить только приближенный результат, но с любой заданной степенью точности;

3) возможно получить только приближенный результат, и притом с ограниченной степенью точности.

В некоторых случаях бывает нужна предельно высокая точность вычислений. Но, как правило, на практике оказывается достаточным приближенный результат. Ценность приближенного результата определяется конкретными условиями, например:

1) поезд должен отправиться по расписанию в 19час.23мин. Отклонение на 0,5мин в ту или иную сторону считается допустимым и не является нарушением графика.

2) при расчете времени движения бегуна или пловца на спортивных соревнованиях учитываются доли секунды.

3) при наблюдении движения небесных тел момент прохождения светила через меридиан определяется с точностью до тысячных долей секунды.

4) при измерении длины комнаты в бытовых условиях допускается погрешность до 1 см.

5) при измерении диаметра трубы газопровода допускается погрешность до 1 мм.

6) при изготовлении деталей многих точных механизмов допустимое отклонение от нормы измеряется тысячными долями миллиметра.

7) норма высева семян определяется с точностью до 3-5 кг на гектар площади посева.

Поэтому, учитывая вышеизложенное, при решении широкого класса задач нужно:

1) учесть из условий решаемой задачи, с какой степенью точности требуется получить численный ответ;

2) установить, с какой степенью точности нужно взять исходные данные, чтобы получить результат с требуемой точностью;

3) организовать процесс вычислений так, чтобы получить результат с заданной точностью и с возможно меньшими затратами времени и труда.