Исследование поведения функции

3.1. Промежутки постоянства и монотонности

Пусть Исследование поведения функции - student2.ru - некоторый промежуток, ограниченный или неограниченный.

Теорема 1. ( Критерий постоянства функции на промежутке)

Пусть функция f непрерывна на Исследование поведения функции - student2.ru и дифференцируема на (a,b). Для того, чтобы f(х) тождественно на Исследование поведения функции - student2.ru была равна константе, необходимо и достаточно, чтобы её производная тождественно на (a,b) была равна нулю:

► Необходимость. Пусть f(х) Исследование поведения функции - student2.ru на (a,b), а х0 – произвольная точка этого интервала. При любом h, удовлетворяющем требованию х0 + h Исследование поведения функции - student2.ru (a,b) имеем: Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru = С – С = 0; значит, Исследование поведения функции - student2.ru .

Достаточность. Пусть Исследование поведения функции - student2.ru (х) Исследование поведения функции - student2.ru на (a,b). Выберем некоторую точку х0 на интервале (a,b) и обозначим: f(х0) Исследование поведения функции - student2.ru . Пусть х – произвольная точка этого интервала, отличная от х0 . На сегменте, ограниченном точками х0 и х функция f удовлетворяет всем требованиям условия теоремы Лагранжа (см. п. 2.2.) ; поэтому существует точка ξ , ле- жащая между этими точками и такая, что f(х) –f(х0)= Исследование поведения функции - student2.ru (х – х0). Ясно,что ξ Исследование поведения функции - student2.ru (a,b), а тогда Исследование поведения функции - student2.ru =0. Значит, f(х) =f(х0)=С; отсюда: Исследование поведения функции - student2.ru . ◄

Теорема 2.(Критерий монотонности функции на промежутке)

Пусть функция f непрерывна на Исследование поведения функции - student2.ru и дифференцируема на (a,b). Для того, чтобы онабыла неубывающей (невозрастающей ) на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицательной (неположительной) на интервале (a,b).

► Необходимость. Пусть х0 –произвольная точка интервала (a,b). По условию теоремы существует производная Исследование поведения функции - student2.ru , значит, существует и односторонная производная справа Исследование поведения функции - student2.ru , причем Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru .

Рассмотрим случай неубывающей функции. По определению

Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru . Здесь h > 0; и так как f – неубывающая функция, то f(x0+h) – f(x0) ≥ 0; поэтому Исследование поведения функции - student2.ru . Отсюда и из теоремы о предельном переходе в неравенстве (гл. 1, п.4.5) следует: Исследование поведения функции - student2.ru ≥ 0. Но х0 –произвольная точка интервала (a,b). Следовательно, Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru .

В случае невозрастающей функции аналогично покажем: Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru .

Достаточность. Пусть х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru . На сегменте [х1 , х2] функция f удовлетворяет требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х2) – f(х1) = Исследование поведения функции - student2.ru ( х2 - х1), где х1 <ξ < х2.

Пусть Исследование поведения функции - student2.ru неотрицательна на (a,b). Тогда Исследование поведения функции - student2.ru ≥ 0, и, значит, f(х1) ≤ f(х2). Таким образом, для любых х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, справедливо неравенство f(х1) ≤ f(х2), т.е. функция f удовлетворяет определению неубывающей на Исследование поведения функции - student2.ru функции.

В случае Исследование поведения функции - student2.ru ≤ 0 на (a,b) из f(х2) – f(х1) = Исследование поведения функции - student2.ru ( х2 - х1) следует: f(х1) ≥ f(х2) , значит, f удовлетворяет определению невозрастающей на Исследование поведения функции - student2.ru функции. ◄

Теорема 3.(Достаточный признак строгой монотонности) Пусть функция f непрерывна на Исследование поведения функции - student2.ru и дифференцируема на (a,b). Если при всех х Исследование поведения функции - student2.ru (a,b) Исследование поведения функции - student2.ru > 0 ( Исследование поведения функции - student2.ru < 0 ), то функция f возрастает ( убывает ) на Исследование поведения функции - student2.ru .

► Пусть х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru . На сегменте [х1 , х2] функция f удовлетворяет требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х2) – f(х1) = Исследование поведения функции - student2.ru ( х2 - х1), где х1 <ξ < х2.

Пусть Исследование поведения функции - student2.ru положительна на (a,b). Тогда Исследование поведения функции - student2.ru > 0, и, значит, f(х1) < < f(х2). Таким образом, для любых х1 и х2 , а≤ х1 < х2 ≤ b, справедливо неравенство f(х1) < f(х2), т.е. функция f удовлетворяет определению возрастающей на Исследование поведения функции - student2.ru функции.

В случае Исследование поведения функции - student2.ru < 0 на (a,b) из f(х2) – f(х1) = Исследование поведения функции - student2.ru ( х2 - х1) следует: f удовлетворяет определению убывающей на Исследование поведения функции - student2.ru функции. ◄

3.2. Точки локального экстремума

Здесь мы рассматриваем следующую задачу: пусть функция f определена на некотором интервале (a,b), ограниченном или неограниченном; требуется найти точки её локальных максимумов и минимумов.

Понятие локального экстремума было введено в п. 2.1. Дополним данные там определения. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х0 , х0 Исследование поведения функции - student2.ru .

Определение. Точку х0 назовем точкой строгого локального максимума ( строгого локального минимума ) функции f , если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалам (х9- δ, х0 ) и (х0, х0 + δ) справедливо строгое неравенство f(х) < f(х0) ( f(х) > f(х0) ) .

Согласно следствию теоремы Ферма (см. п.2.1), если функция f дифференцируема в точке х0 Исследование поведения функции - student2.ru (a,b), а Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru 0, то х0 заведомо не может быть точкой её локального экстремума. Следовательно, отыскивая точки локальных максимумов и минимумов функции f, достаточно ограничиться рассмотрением тех точекинтервала (a,b) , в которых либо производная Исследование поведения функции - student2.ru существует и равна нулю, либо производная Исследование поведения функции - student2.ru не существует. Такие точки в дальнейшем будем называть точками, подозрительными на экстремум. Если функция имеет экстремум, то только в таких точках. Покажем на примере, что подозрительная на экстремум точка не всегда оказывается на деле точкой экстремума.

Исследование поведения функции - student2.ru Пример 1. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси и имеет единственную подозрительную на экстремум точку: Исследование поведения функции - student2.ru (х)= 0 только при х=0. Однако, f(x) возрастающая функция, и у нее нет точек локального экстремума (см. рис. 7).

Таким образом, чтобы отыскать точки экстремума, следует найти подозрительные на экстремум точки, а затем для каждой из них выяснить, является ли она точкой экстремума на самом деле. Выяснить это можно с помощью достаточных признаков экстремума.

Пусть функция f определена в проколотой окрестности точки х0 .Будем говорить, что при переходе через х0 функция меняет знак с + на -, если существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х0 – δ, х0)и f(х)< 0 на (х0, х0 + +δ). Теперь понятен смысл терминов “при переходе через х0 функция меняет знак с – на + ” и “при переходе через х0 функция не меняет знак ” Например, при переходе через х0 = 0функция f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак с – на + (см. рис. 7) , а функция Исследование поведения функции - student2.ru при переходе через ту же точку знака не меняет.

Теорема 4.(Первый достаточный признак экстремума) Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и дифференцируема в её проколотой окрестности, и пусть х0 является для f точкой, подозрительной на экстремум,. Тогда:

1) если при переходе через х0 производная Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак с + на -, то х0 есть точка строгого локального максимума функции f ;

2) если при переходе через х0 производная Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак с – на +, то х0 есть точка строгого локального минимума функции f ;

3) если при переходе через х0 производная Исследование поведения функции - student2.ru не меняет знак, то х0 не является точкой локального экстремума функции f.

► 1) Существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х0 – δ, х0)и f(х)< 0 на (х0, х0 + δ). В силу критерия монотонности f не убывает на (х0 – δ, х0] и не возрастает на [х0, х0 + δ); следовательно, при всяком Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. х0 - точка локального максимума.

2) Доказательство здесь аналогично приведенному выше.

3) Допустим для определенности, что существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 и на (х0 – δ, х0),и на (х0, х0 + δ). Значит, f не убывает и на (х0 – δ, х0], и на [х0, х0 + δ); т.е. f не убывает на (х0 – δ, х0+ δ); поэтому х0 не может быть точкой экстремума. ◄

Пример 2. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, а точка х9 =0 является подозрительной на экстремум: Исследование поведения функции - student2.ru (0) = 0. При переходе через эту точку производная Исследование поведения функции - student2.ru (х) = 2х меняет знак с – на +; значит, х9 =0 есть точка локального минимума.

Пример 3. Пусть f(x) =|x| . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, за исключением точки х9 =0 ; Исследование поведения функции - student2.ru (х) ≡ -1 на (-∞ , 0) и Исследование поведения функции - student2.ru (х) ≡1 на (0,+∞). Таким образом, х9 =0 является точкой, подозрительной на экст -ремум ( в ней Исследование поведения функции - student2.ru не существует), и при переходе через неё Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак с – на +; значит, х9 =0 есть точка локального минимума.

Теорема 5.(Второй достаточный признак экстремума) Пусть функция f n раз,где n> 1, дифференцируема в точке х9 , причем

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru , а Исследование поведения функции - student2.ru . Тогда:

1) если n – четное, то х9 является точкой строгого локального экстремума, а именно, точкой строгого максимума в случае Исследование поведения функции - student2.ru и точкой строгого минимума в случае Исследование поведения функции - student2.ru ;

2) если n – нечетное, то х9 не является точкой локального экстремума.

► По теореме Тейлора-Пеано

Исследование поведения функции - student2.ru Отсюда, так как Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru ,

Исследование поведения функции - student2.ru ,

Исследование поведения функции - student2.ru , (13) где Исследование поведения функции - student2.ru 0. Пусть δ > 0 подобрано так, что при всех х, удовлетворяющих неравенствам 0< |x-x0| < δ, выполняется | Исследование поведения функции - student2.ru | < Исследование поведения функции - student2.ru . Тогда на интервалах ( х0 - δ , х0 ) и (х0 , х0 + δ ) знак суммы в квадратных скобках (см. (13)) совпадает с знаком числа Исследование поведения функции - student2.ru .

Пусть n - четное. Если Исследование поведения функции - student2.ru < 0, то из (13) следует, что на интервалах ( х0 - - δ , х0 ) и (х0 , х0 + δ ) разность Исследование поведения функции - student2.ru отрицательна, т. е. на этих интервалах Исследование поведения функции - student2.ru . Таким образом, если Исследование поведения функции - student2.ru , то х0 – точ- ка строгого локального максимума (см. определение). Если же Исследование поведения функции - student2.ru 0, , то на тех же интервалах Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru ; значит, х0 – точка строгого локального минимума.

Пусть n - нечетное. Тогда множитель Исследование поведения функции - student2.ru перед квадратной скобкой в (13) меняет знак при переходе через х0 ; поэтому меняет знак и разность f(x) – f( х0 ). Отсюда следует, что х0 не может бытьточкой экстремума. ◄

Пример 4. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . При х0 = 0 имеем: Исследование поведения функции - student2.ru , Исследование поведения функции - student2.ru . Значит, х0 = 0 – точка строгого локального минимума.

Пример 5. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . При х0 = 0 имеем: Исследование поведения функции - student2.ru , Исследование поведения функции - student2.ru . Значит, х0 = 0 не является точкой экстремума.

3.3. Промежутки выпуклости

Пустьфункция f определена на сегменте [ x1 ,x2] , x1 < x2 , и пусть

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru

Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru (14) Уравнение Исследование поведения функции - student2.ru есть уравнение прямой, проходящей через лежащие на графике функции точки A(х1 ,f(x1)) и B (х2 ,f(x2)) . Если при всех х Исследование поведения функции - student2.ru ( x1 ,x2) справедливо неравенство l(x) ≤ f(x) ( l(x) ≥ f(x) ), то график функции f(x) на интервале (x1, x2) проходит “не ниже” (“не выше” ) хорды АВ. Если же при всех х Исследование поведения функции - student2.ru ( x1 ,x2) l(x) < f(x) ( l(x) > f(x) ), то график функции f(x) на интервале (x1, x2) проходит “строго выше” (“строго ниже” ) хорды АВ (см. рис.8).

Пустьфункция f определена на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru - ограниченном или неограниченном.

Определение. Будем говорить, что на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru функция f выпукла вверх (выпукла вниз ), если при любых x1 и x2, x1 < x2 , лежащих на Исследование поведения функции - student2.ru , неравенство l(x) ≤ f(x) ( l(x) ≥ f(x) ) справедливо для всякого х, принадлежащего интервалу ( x1 ,x2). Если же для всякого х, принадлежа- щего интервалу ( x1 ,x2). справедливо строгое неравенство, т.е. l(x) < f(x) ( l(x) > f(x) ), то будем говорить, что функция f строго выпукла вверх ( строго выпукла вниз) на Исследование поведения функции - student2.ru .

На рис.9 изображен график функции, которая строго выпукла вниз на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru и строго выпукла вверх на промежутке Исследование поведения функции - student2.ru .

Теорема 6.(Критерий строгой выпуклости) Пусть функция f непрерывна на Исследование поведения функции - student2.ru и дифференцируема на (a,b). Для того,чтобы она была строго выпукла вниз ( строго выпукла вверх) на Исследование поведения функции - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы её производная f ′ возрастала ( убывала ) на (a,b).

Докажем критерий строгой вцпуклости вниз:

(f строго выпукла вниз на Исследование поведения функции - student2.ru ) Исследование поведения функции - student2.ru ( f ′ возрастает на (a,b) )

► Необходимость. Пусть f строго выпукла вниз на Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. при любых x1 и x2, x1 < x2 , лежащих на Исследование поведения функции - student2.ru , неравенство l(x) > f(x) выполняется для всякого х, x1 < <х <x2 . Воспользовавшись первым выражением для функции l(x) (см. (14) ), неравенство l(x) > f(x) можно записать в следующем виде:

Исследование поведения функции - student2.ru (15) Для х Исследование поведения функции - student2.ru (x1 , Исследование поведения функции - student2.ru положим Исследование поведения функции - student2.ru . В силу неравенства (15) имеем : на интервале (x1 , Исследование поведения функции - student2.ru g(x) < g(x2). Заметим, что здесь х и x2 , х <x2 ,можно выбирать любыми на промежутке (x1 , Исследование поведения функции - student2.ru ; значит, функция g(x) возрастает на (x1 , Исследование поведения функции - student2.ru . Отсюда, и из теоремы Вейерштрасса об односторонних преде- лах монотонной функции ( [1], стр. 67) Исследование поведения функции - student2.ru , т.е.

Исследование поведения функции - student2.ru Так как f дифференцируема в точке х1 , то предел в левой части последнего неравенства равен f ′(х1), значит. f ′(х1) Исследование поведения функции - student2.ru Аналогично, воспользовавшись вторым выражением для функции l(x) из (14), можно получить неравенство Исследование поведения функции - student2.ru . Следовательно, при любых x1 и x2, x1 < x2 , лежащих на Исследование поведения функции - student2.ru f ′(х1) Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. производная f ′ возрастает на Исследование поведения функции - student2.ru .

Достаточность. Пусть производная f ′ возрастает на Исследование поведения функции - student2.ru . Пусть x1 и x2, x1 < x2 , - произвольные точки на Исследование поведения функции - student2.ru , а х лежит между ними: x1 < х <x2 . На каждом из сегментов [x1 , х] и [х , x2] функция f удовлетворяет всем требованиям условия теоремы Лагранжа, поэтому существуют точки Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru , такие, что

f(x)-f(x1) = f ′ Исследование поведения функции - student2.ru (x – x1) и f(x2) – f(x) = f ′ Исследование поведения функции - student2.ru (x2 – x). Отсюда: f ′ Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru ; f ′ Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru . Очевидно, Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru , и так как

f ′ возрастает, то f ′ Исследование поведения функции - student2.ru < f ′ Исследование поведения функции - student2.ru ; значит, Исследование поведения функции - student2.ru < Исследование поведения функции - student2.ru Преобразуем это неравенство:

Исследование поведения функции - student2.ru Приведя к общему знаменателю (х – х1)(х2 - х) и умножив на него обе части неравенства, получим: Исследование поведения функции - student2.ru Поделим на x2 – x1 :

Исследование поведения функции - student2.ru

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru

= Исследование поведения функции - student2.ru .

Итак , при любом х , x1 < х <x2 , выполняется f(x) < Исследование поведения функции - student2.ru , и так как x1 и x2, x1 < x2 , - произвольные точки на Исследование поведения функции - student2.ru , то f выпукла вниз на Исследование поведения функции - student2.ru .◄

Критерий строгой выпуклости вверх

(f строго выпукла вверх на Исследование поведения функции - student2.ru ) Исследование поведения функции - student2.ru ( f ′ убывает на (a,b) )

можно доказать аналогично.

Следствие. Пусть функция f непрерывна на Исследование поведения функции - student2.ru и дважды дифференцируема на (a,b). Если при всех х на (a,b) Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ), то f выпукла вниз (выпукла вверх ) на Исследование поведения функции - student2.ru .

► Действительно, Исследование поведения функции - student2.ru есть производная от f ′, и если при всех х на (a,b) Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ), то в силу достаточного признака строгой монотонности (см. теорему 3) f ′ возрастает (убывает ) на (a,b) . ◄

Пример 6. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru на (- ∞, +∞); значит, эта функция строго выпукла вниз на (- ∞, +∞).

Пример 7. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru ; она отрицательна на (- ∞, 0) и положительна на (0, +∞). Следовательно, эта функция строго выпукла вверх на (- ∞, 0) и строго выпукла вниз на (0, +∞), см. рис. 7.

3.4. Точки перегиба

Пусть функция f непрерывна в точке х0 , Исследование поведения функции - student2.ru .

Определение. х0 назовем точкой перегиба функции f , если существу-ет δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х0 – δ , х0) и (х0 , х0 + δ) она строго выпукла вниз, а на другом из них – строго выпукла вверх.

Таким образом, точка перегиба является общей граничной точкой двух интерва- лов, на одном из которых функция строго выпукла вниз, а на другом она строго выпукла вверх. На рис. 10 схематически изображены графики функций в окрестности точки х0 , которая для каждой из них является точкой перегиба.

 
  Исследование поведения функции - student2.ru

Теорема 7. (Критерий перегиба)Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности U Исследование поведения функции - student2.ru точки х0 , Исследование поведения функции - student2.ru , и дифференцируема в проколотой окрестности Исследование поведения функции - student2.ru . Для того, чтобы х0 была точкой перегиба, необходимо и достаточно, чтобы существовало δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х0 – δ , х0) и (х0 , х0 + δ) производная f ′ возрастает, а на другом – убывает.

Утверждение этой теоремы вытекает непосредственно из критерия выпуклости ( теорема 6), так как в силу критерия интервалы строгой выпуклости функции совпадают с интервалами строгой монотонности её производной.

Следствие. Точка перегиба дифференцируемой функции является точкой строгого локального экстремума её производной.

Теорема 8.Пусть х0 , Исследование поведения функции - student2.ru , является точкой перегиба функции f. Если f дважды дифференцируема в этой точке, то Исследование поведения функции - student2.ru .

► В силу следствия предыдущей теоремы х0 является точкой строгого локального экстремума производной f ′. Так как f дважды дифференцируема в х0 , то f ′ дифференцируема в этой точке; значит, по теореме Ферма производная от f ′, т.е. Исследование поведения функции - student2.ru , в точке х0 обращается в 0 . ◄

Следствие. Если f дважды дифференцируема в точке х0, а Исследование поведения функции - student2.ru , то х0 заведомо не является точкой перегиба функции f.

Пусть функция f непрерывна в точке х0 , Исследование поведения функции - student2.ru . Точку х0 будем называть точкой, подозрительной на перегиб, если либо Исследование поведения функции - student2.ru , либо Исследование поведения функции - student2.ru не существует. Из теоремы 8 и ее следствия вытекает, что только такие точки могут быть точками перегиба. Однако, не всегда точка, подозрительная на перегиб, на деле оказывается точкой перегиба.

Пример 8. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru . Так как Исследование поведения функции - student2.ru , то х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. Однако, Исследование поведения функции - student2.ru и на (- ∞, 0), и на (0, +∞); так что оба эти интервала являются интервалами выпуклости вниз.

Теорема 9.(Достаточный признак перегиба) Пусть х0 , Исследование поведения функции - student2.ru . есть точка, подозрительная на перегиб функции f , и пусть f дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки.. Тогда

1)если Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак при переходе через х0 , то х0 является точкой перегиба;

2)если Исследование поведения функции - student2.ru не меняет знак при переходе через х0 , то х0 не является точкой перегиба;

► 1) Пусть, например, Исследование поведения функции - student2.ru на (х0 – δ , х0) и Исследование поведения функции - student2.ru на (х0 , х0 + δ), где δ – некоторое положительное число. Так как Исследование поведения функции - student2.ru есть производная от Исследование поведения функции - student2.ru , в силу достаточного признака строгой монотонности Исследование поведения функции - student2.ru возрастает на первом интервале и убывает на втором. Значит (см. критерий выпуклости) первый интервал есть интервал строгой выпуклости вниз, а второй – строгой выпуклости вверх; поэтому х0 - точка перегиба.

Доказательство утверждения 2) аналогично. ◄

Пример 9. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru , Исследование поведения функции - student2.ru . Следовательно, х0 = 0 есть точка, подозрительная на перегиб, и так как при переходе через х0 Исследование поведения функции - student2.ru меняет знак, то х0 = 0 – точка перегиба.

Пример 10. Пусть f(x) =x Исследование поведения функции - student2.ru . Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru . Так как Исследование поведения функции - student2.ru , то х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. Но при переходе через х0 = 0 знак Исследование поведения функции - student2.ru не меняется; значит, х0 = 0 точкой перегиба не является.

3.5. Асимптоты функции

Пусть Исследование поведения функции - student2.ru , а функция f определена в проколотой окрестности Исследование поведения функции - student2.ru

Определение 1. Если Исследование поведения функции - student2.ru то прямую х = х0 назовем вертикальной асимптотой функции f при х→х0 .

Пусть функция f определена в односторонней окрестности Исследование поведения функции - student2.ru =(х0, х0 + δ) ( Исследование поведения функции - student2.ru = (х0 – δ , х0) ), где δ – некоторое положительное число.

Определение 2. Если Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ), то прямую х = х0 назовем вертикальной асимптотой функции f при х→х0 + 0 (при х→х0 - 0 ).

Исследование поведения функции - student2.ru
На рис. 11а) изображен график функции Исследование поведения функции - student2.ru . Так как её предел при х→ 0 равен ∞, то прямая х = 0 ( ось ординат ) является вертикальной асимптотой этой функции при х→ 0 . На рис. 11б) представлен график функции Исследование поведения функции - student2.ru . Так как Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru , то прямые х =-1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами этой функции при х→ -1+0 и при х→ 1=0 соответственно.

Пусть функция f определена на интервале (- ∞, а) или на интерва- ле (а, +∞) , где а – некоторое число. Пусть L – прямая, не параллельная оси OY , а y = kx + b – её уравнение.

Определение 3. Если Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ) , то прямую L назовем наклонной асимптотой функции f при х→ - ∞ (при х→ +∞).

Пример 11. Пусть a и b – положительные числа, Исследование поведения функции - student2.ru .Функция f определена этим равенством на интервалах (- ∞, - а) и (а, +∞), её график представлен на рис.11. Пусть L – прямая, уравнение которой Исследование поведения функции - student2.ru . Покажем, что L является наклонной асимптотой функции f при х→ + ∞. Действительно, Исследование поведения функции - student2.ru . Исследование поведения функции - student2.ru

Исследование поведения функции - student2.ru Аналогично можно показать, что пря-мая Исследование поведения функции - student2.ru является наклонной асимптотой функции f при х→ - ∞.

Теорема 10. (О наклонной асимпто- те)Пусть функция f определена на интервале (- ∞, а) . 1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ - ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Исследование поведения функции - student2.ru . (16) 2) Если пределы (16) существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ - ∞.

► 1) Необходимость. Пусть наклонная асимптота функции f при х→ - ∞ существует, а y = kx + b – её уравнение : Исследование поведения функции - student2.ru . Обозначим: Исследование поведения функции - student2.ru . Тогда Исследование поведения функции - student2.ru , и так как Исследование поведения функции - student2.ru при х→ - ∞, то Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. первый из пределов (16) существует. Из равенства Исследование поведения функции - student2.ru и теоремы о разности между функцией и числом ([1] , стр. 50) следует: Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. второй из пределов (16) также существует.

Достаточность. Пусть Исследование поведения функции - student2.ru , а L – пря- мая, уравнение которой y = kx + b. Из равенства Исследование поведения функции - student2.ru и теоремы о разности между функцией и числом следует: Исследование поведения функции - student2.ru , а это означает, что L является асимптотой при х→ - ∞.

2) Это утверждение уже доказано, см. 1) , Достаточность. ◄

Теорема 11.Пусть функция f определена на интервале (а , + ∞) .

1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ + ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Исследование поведения функции - student2.ru .

2) Если эти пределы существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ + ∞.

Доказательство теоремы аналогично приведенному выше.

3.6. Исследование функции, заданной параметрическим способом

Исследование поведения функции - student2.ru
Пусть на некотором промежутке Исследование поведения функции - student2.ru , Исследование поведения функции - student2.ru , определены функции Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru .

Рис. 13

Множество значений функции Исследование поведения функции - student2.ru на Исследование поведения функции - student2.ru обозначим через Х Пусть Исследование поведения функции - student2.ru взаимно однозначно отображает Исследование поведения функции - student2.ru на Х ( заметим, что это требование будет выполнено, если Исследование поведения функции - student2.ru строго монотонна на Исследование поведения функции - student2.ru ). Значит, существует обратная функция Исследование поведения функции - student2.ru , которая определена на Х и взаимно однозначно отбражает Х на Исследование поведения функции - student2.ru (гл.1, п.5.5). Тогда можно рассматривать функцию у = f(х) , заданную на множестве Х равенством f(х) = Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru .

Таким образом, если каждая из двух переменных х и у является функцией некоторой третьей переменной t ( Исследование поведения функции - student2.ru причём Исследование поведения функции - student2.ru строго монотонна ), то переменные х и у связаны функциональной зависимостью: у = f(х). Говорят, что указанную зависимость можно задать параметрическим способом посредством системы

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru . (17)

Саму систему (17) называют параметрическим представлением функции f(х) на множестве Х ; переменную t называют при этом параметром . Чтобы получить явное задание у = f(х) , следует из первого уравнения системы (17) найти t: t = Исследование поведения функции - student2.ru , а результат подставить во второе уравнение: у = Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ) = f(x).

Пример 12. Рассмотрим систему

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru [0, π], где a>0. Функция Исследование поведения функции - student2.ru строго монотонна на [0, π], она взаимно однозначно отображает [0, π] на множество её Х = [-а, а]; поэтому система является параметрическим представлением некоторой функции y = f(x) на множестве Х = [-а, а]. Чтобы получить явное задание этой функции, найти f(x), найдем t из первого уравнения: t = = arccos Исследование поведения функции - student2.ru = Исследование поведения функции - student2.ru ; подставив результат во второе уравнение, получим:

y = f(x) = a sin( arccos Исследование поведения функции - student2.ru ) = Исследование поведения функции - student2.ru .

Пример 13. Рассмотрим систему

Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru [0, 2π]. (18)

Имеем: Исследование поведения функции - student2.ru , Исследование поведения функции - student2.ruИсследование поведения функции - student2.ru > 0 на (0, 2π); значит, Исследование поведения функции - student2.ru возрастает на [0, 2π] от 0 до 2πа. Поэтому рассматриваемая система является параметрическим представлением некоторой функции y = f (x), область определения которой есть сегмент [0, 2π а]. Чтобы найти f (x), нужна обратная функция Исследование поведения функции - student2.ru . Для её отыскания следует разрешить уравнение Исследование поведения функции - student2.ru относительно t . Ясно, однако, что сделать это не удастся, следовательно, не удастся получить явное задание для f(x).

Параметрический способ задания функции – один из наиболее распространенных, в том числе и в приложениях математики. Как свидетельствует пример 13, для функции, заданной таким способом, не всегда удается получить её явное задание вида y = f(x). В таких случаях возникает задача: пусть известно параметрическое представление (17) функции f , т.е. известны функции Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru ; можно ли, обладая только информацией о свойствах Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru , выяснить основные свойства функции f : непрерывна ли она? дифференцируема ли? как найти её производную? Ниже даны ответы на эти вопросы.

1. Если Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru непрерывны на ( Исследование поведения функции - student2.ru ), то f непрерывна на интервале (a,b) – множестве значений функции Исследование поведения функции - student2.ru на ( Исследование поведения функции - student2.ru ).

Действительно, по теореме о множестве значений строго монотонной функции (гл. 1,п 5.4 ), множество значений функции Исследование поведения функции - student2.ru на ( Исследование поведения функции - student2.ru ) есть некоторый интервал; обозначим его через (a,b). По теореме о непрерывности обратной функции (гл.1, п. 5.5 ) функция Исследование поведения функции - student2.ru непрерывна на (a,b). По теореме о непрерывности сложной функции (гл. 1, п.5.2) суперпозиция непрерывных функций Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru , т.е., функция f , непрерывна на (a,b).

2. Если Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru дифференцируемы на ( Исследование поведения функции - student2.ru ), причем производная Исследование поведения функции - student2.ru ′ (t) не обращается в нуль на ( Исследование поведения функции - student2.ru ),то f дифференцируема на (a,b), а для её производной f ′ справедливо параметрическое представление

Исследование поведения функции - student2.ru t Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ). (19)

В самом деле, по теореме о производной обратной функции ( п.1.3, теорема 5) функция Исследование поведения функции - student2.ru дифференцируема в каждой точке интервала (a,b), причем Исследование поведения функции - student2.ru ′(х) = = Исследование поведения функции - student2.ru . По теореме о производной сложной функции ( п.1.3, теорема 4) функция Исследование поведения функции - student2.ru дифференцируема в каждой точке интервала (a,b), причем

Исследование поведения функции - student2.ru . . Обозначим: Исследование поведения функции - student2.ru , и рассмотрим систему Исследование поведения функции - student2.ru t Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ). Так как Исследование поведения функции - student2.ru - строго монотонная функция, то эта система является параметрическим представлением функции y′= Исследование поведения функции - student2.ru Исследование поведения функции - student2.ru , т.е. функции f ′.

3. Если Исследование поведения функции - student2.ru и Исследование поведения функции - student2.ru дважды дифференцируемы на ( Исследование поведения функции - student2.ru ), причем производная Исследование поведения функции - student2.ru ′ (t) не обращается в нуль на ( Исследование поведения функции - student2.ru ),то f дважды дифференцируема на (a,b), а для её производной f ″ справедливо параметрическое представление

Исследование поведения функции - student2.ru t Исследование поведения функции - student2.ru ( Исследование поведения функции - student2.ru ), где Исследование поведения функции - student2.ru . Обосновать эти утверждения можно так же, как утверждения 2, рассмотрев систему (19) как параметрическое представление функции f ′.

Пример 14. Пусть f – функция, параметрическим представлением которой является система (18). Областью её определения является сегмент [0, 2π а] (см. пример 13). Непосредственно из 1. следует: f непрерывна на (0, 2π а). Этот вывод можно дополнить: f непрерывна на сегменте [0, 2π а]. Действительно, Исследование поведения функции - student2.ru возрастает и непрерывна на сегменте [0, 2π], значит, обратная функция Исследование поведения функции - student2.ru возрастает и непрерывна также на сегменте [0, 2π а] ([1], см. замечание к теореме 1); поэтому и f непрерывна на этом сегменте. Непосредственно из 2. и 3. следует: f дважды дифференцируема на (0, 2π а), а для её производных справедливы параметрические представления

f ′: Исследование поведения функции - student2.ru t Исследование поведения функции - student2.ru (0, 2π) ; f ″ : Исследование поведения функции - student2.ru t Исследование поведения функции - student2.ru (0, 2π) ;

Основываясь на этих сведениях о функции f и её производных можно изучить поведение функции и построить её график. При t Исследование поведения функции - student2.ru (0, π) x =a(t – sint) принадлежит (0, аπ ), y =a (1 – cost) принадлежит (0,2а), a Исследование поведения функции - student2.ru . Значит, f ′ (x)> 0 на интервале (0, аπ); поэтому f возрастает на сегменте [0, аπ] от нуля до 2а. Рассмотрев t Исследование поведения функции - student2.ru (π , 2π) так же можно установить,что на сегменте [аπ, 2π а ] f убывает от 2а до нуля, следовательно, х0 = аπ есть точка строгого максимума функции f , причем f (аπ) = 2а. При всех t Исследование поведения функции - student2.ru (0, 2π)

Исследование поведения функции - student2.ru ,

Исследование поведения функции - student2.ru

значит, f ″ (х) < 0 при всех Исследование поведения функции - student2.ru (0,2а), поэтому f строго выпукла вверх на сегменте [0, 2π а]

Наши рекомендации