Краткие теоретические сведения. Численные методы 1. Метод начальных параметров

Численные методы 1. Метод начальных параметров

Краткие теоретические сведения

В методе начальных параметров краевую задачу для системы дифференциальных уравнений пытаются заменить задачей Коши. При этом предполагается, что в распоряжении расчётчика имеется программное обеспечение для решения начальной задачи для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим метод начальных параметров для решения нормальной системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка

. (11.1)

Если эта система дополнена начальными условиями y(x₁)=y₁, то её можно решить с помощью стандартного программного обеспечения, например, методов Рунге-Кутта. Рассмотрим случай, когда эта система дополнена граничными условиями: часть координат вектора y задана на левом конце x₁, а часть – на правом x₂. Пусть, для определённости, на правом конце заданы m первых координат вектора y, а на левом конце – n-m последних. Этого всегда можно добиться перенумерацией переменных. Если бы нам удалось найти недостающие координаты y на левом конце, то можно было бы решить начальную задачу. Будем рассматривать m недостающих координат y в начальной точке x₁ как неизвестные t₁,t₂,…,t_m. Для их нахождения имеется m уравнений – граничные условия на правом конце x₂. Таким образом, задача нахождения неизвестных начальных условий сводится к решению системы из m в общем случае нелинейных уравнений.

Рис. 11.1. Геометрическая интерпретация метода начальных параметров

Если n=2, а m=1, то геометрическая интерпретация метода начальных параметров показана на рис.11.1. Задавая различные значения для недостающего начального условия y¢(x₁), будем получать различные y(x₂). Чтобы получить нужное значение y₂, нужно угадать угол наклона экстремали в начальной точке. Это напоминает процесс стрельбы из артиллерийского орудия. Поэтому метод начальных параметров называется также методом стрельбы.

Если исходная система дифференциальных уравнений (11.1) линейная (даже с переменными коэффициентами), то вектор решений в любой точке y(x₂) также будет линейно зависеть от начальных условий:

. (11.2)

Оставим в системе (11.2) только m первых строк, соответствующих граничным условиям при x=x₂, и только m первых столбцов, соответствующих неизвестным начальным параметрам:

(11.3)

Для нахождения компонентов матрицы A и координат вектора b нужно решить начальную задачу m+1 раз с такими вариантами неизвестных начальных условий:

t={1,0,…,0} – для формирования {a₁₁+b₁, a₂₁+ b₂,…, a_m1+b_m};

t={0,1,…,0} – для формирования {a₁₂+b₁, a₂₂+b₂,…, a_m2+b_m};

…

t={0,0,…,1} – для формирования {a_1m+b₁, a_2m+b₂,…, a_mm+b_m};

а также

t={0,0,…,0} – для формирования {b₁, b₂,…, b_m}.

Поэтому метод начальных параметров называют также методом матричной прогонки.

Если n=2, а m=1, то геометрическая интерпретация метода начальных параметров показана на рис.11.1. Задавая различные значения для недостающего начального условия y¢(x₁), будем получать различные y(x₂). Чтобы получить нужное значение y₂, нужно угадать угол наклона экстремали в начальной точке. Это напоминает процесс стрельбы из артиллерийского орудия. Поэтому метод начальных параметров называется также методом стрельбы.