Моделирование гидродинамических процессов

Рассмотрим подобие стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости для следующих случаев:

– при наличии влияния веса;

– при отсутствии влияния веса;

– вязкостное и инерционное течение.

Последние три вида течения являются частными случаями первого.

Течение при наличии влияния веса.

Дифференциальные уравнения движения

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.76)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

уравнение сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru . (4.77)

Уравнения движения (4.76) и сплошности (4.77) могут быть записаны в векторной форме:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.78)

уравнение сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , (4.79)

где V – вектор скорости;

v – скалярная величина того же вектора;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – проекции вектора V на координатные оси Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (причем х направлена вертикально);

р – давление, отсчитанное от давления в некоторой точке потока, как от нуля;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – плотность жидкости;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – коэффициент кинематической вязкости жидкости;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – коэффициент вязкости жидкости;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – ускорение свободного падения;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – оператор Лапласа.

Величины Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – рассматриваются как постоянные во всем поле.

Краевые условия в рассматриваемой задаче не могут содержать никаких других физических переменных, кроме скорости, которая может быть задана на границе в виде уравнения, выражающего скорость как функцию координат точек границы. Если рассматривают течение жидкости внутри какого-либо аппарата, то границами потока следует считать входное сечение потока, где имеют место управляемые краевые условия, и поверхности твердых стенок, окаймляющих поток, где имеют место неуправляемые граничные условия (в случае неподвижных стенок v=0. Поскольку это условие автоматически соблюдается и в модели, и в образце, то задание краевых условий сводится к заданию скорости на входном сечении изучаемого объекта. Это заключение можно отнести и ко всем задачам, разбираемым в дальнейшем.

Так как в рассматриваемой задаче размерность скорости может быть представлена как

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru или Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

то граничные условия могут быть записаны в виде:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ; (4.80)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

или

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ; (4.81)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Как показали исследования, оба способа записи краевых условий приводит к одному и тому же конечному результату.

Для приведения уравнений (4.76), (4.77), (4.80) и (4.81) к безразмерному виду напишем масштабные преобразования:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

После введения преобразований в уравнения (4.76) и (4.77) получаем:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Для приведения этих уравнений к безразмерному виду необходимо, чтобы

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.86)

Из условий (4.86) можно получить три уравнения связи, которые содержат шесть масштабов. Следовательно, любые три из них, имеющие независимые размерности, можно выбрать в качестве основных, например, Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , а три остальных определить из уравнения связи (4.86).

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Тогда выражения для безразмерных величин можно записать:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.87)

или

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.88)

где 1 – радиус вектора;

L – безразмерный радиус-вектор какой-либо точки в потоке;

G – единичный вектор.

Уравнение движения:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.89)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

или в векторной форме

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.90)

Уравнение сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.91)

или в векторной форме Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.92)

Граничные условия

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.93)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Решение системы дифференциальных уравнений (4.89) и (4.91), удовлетворяющей граничным условиям (4.93), можно представить в виде:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.94)

Следовательно, для соблюдения подобия двух потоков необходимо и достаточно осуществить равенство безразмерной скорости на границе потока в модели и образца и равенство критерия N в сравниваемых потоках, т.е. (в векторной форме)

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

или

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru . (4.95)

Если эти условия будут соблюдены, то в сходственных точках модели и образца, т.е. при

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

будут иметь место равенства:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Интересно заметить, что имеющие широкое применение критерии Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru могут быть представлены как степенные функции критериев Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Действительно, воспользовавшись равенством (198), можно получить

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Из условий (4.95) видно, что осуществление требования Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru при условии, что жидкость в модели и образце одна и та же, т.е. Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , возможно только при Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , т.е. когда размеры модели и образца одинаковы. В этом случае для выполнения условий Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru должно иметь равенство Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Установление вида функций Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru в большинстве практических задач осуществляется опытным путем. Однако экспериментальное определение указанных функций связано с большими трудностями (вести измерения скоростей и давлений в значительном количестве точек). Поэтому для практических задач нередко переходят на средние значения скорости и давления и устанавливают равенство ускоренных по сечению критериев давления Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и скорости Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Перейдя к замене критериев Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и N критериями Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , было установлено на основании многочисленных экспериментальных исследований, что функциональная связь между критериями Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и N может быть представлена в виде

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru (4.96)

где

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

В гидравлике для подсчета сопротивления, возникающего вследствие трения при движении жидкости в канале или трубе, обычно пользуются формулой Дарси:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

а при определении местных сопротивлений – формулой Вейсбаха:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

где Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – падение напора между двумя сечениями;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – средняя по сечению трубы скорость;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – плотность жидкости;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – длина трубы;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – гидравлический диаметр.

На сопоставление приведенных формул с выражением для критерия Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru можно заключить, что

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

т.е. коэффициенты сопротивления Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru в общем случае в соответствии с выражением (4.96) являются функции критериев Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Течение при отсутствии влияния весахарактеризуется отсутствием свободных поверхностей, т.е. имеет место напорное течение. В этом случае влиянием веса можно пренебречь по сравнению с влиянием остальных сил, действующих на элементарную частицу жидкости.

На основании анализа дифференциальных уравнений:

движения

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

граничных условий

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

где Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – вектор скорости в точках, расположенных на границах потока;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – радиус-вектор этих точек,

можно получить систему уравнений связи

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , (4.97)

Используя уравнения связи, можно показать. так же как это было сделано при рассмотрении предыдущей задачи. что для осуществления подобия нужно на границах модели осуществить распределение критерия Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,тождественно одинаковое с тем, которое имеет место в образце, т.е. выполнить условие

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Переходя к усредненным по сечению критериям Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и заменяя их критериями Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , результаты опытов, имеющих целью установление эмпирических законов сопротивления при напорном течении, обычно обрабатывается в виде функциональной зависимости

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Вязкостный режим течения. Этот режим течения характеризуется исчезающе малым влиянием инерционных сил по сравнению с силами трения и давления. В этом случае на основании анализа уравнений:

движения

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

граничных условий

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

где Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru – параметрическое значение скорости,

получается одно уравнение связи

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , (4.98)

на основании которого, устанавливается подобие двух потоков.

Для осуществления подобия необходимо выполнить равенство критериев Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru на границах потоков в модели и в образце, т.е.

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru или Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Отсюда видно, что подобие может быть осуществлено независимо от размеров модели.

Инерционный режим течения. В этом случае влиянием сил трения, ввиду их малости по сравнению с силами давления и инерции, на режим течения можно пренебречь.

Тогда после приведения уравнений:

движения

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

сплошности

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

граничных условий

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

и безразмерному виду получим уравнение связи

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru . (4.99)

Следовательно, для установления подобия между двумя потоками необходимо выполнить то же условие, что и при вязкостном режиме, т.е.

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

В данном случае подобие может быть осуществлено, так же как при вязкостном режиме, независимо от размеров модели, которая. разумеется, должна быть геометрически подобна образцу.

Сопоставим условия, необходимые для осуществления подобия в рассматриваемых задачах:

при наличии сил тяжести:

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

при напорном течении

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

при вязкостном течении

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

при инерционном течении

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

получим при наличии влияния сил тяжести

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

при напорном течении

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ;

при вязкостном и инерционном течении

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru .

Следовательно, для первых двух режимов имеем ограничения в выборе множителей подобия. Действительно, выбрав в первом случае множитель геометрического подобия Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , мы тем самым предопределяем множители подобия Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru и Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru . Аналогично и в случае напорного течения.

В противоположность рассмотренным двум первым видам течения, при осуществлении подобия вязкости и инерционного течения мы свободны в выборе множителей подобия. В последних двух случаях подобие обеспечивается одним лишь подобием распределения скоростей. Это свойство инерционного и вязкостного режимов течения называется автомоделью. При этом для вязкостного режима имеет место

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru ,

а для инерционного режима

Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru

Вязкостный режим наблюдается в области малых значений числа Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru , а инерционный – в области больших значений числа Моделирование гидродинамических процессов - student2.ru . В соответствии с этим принято говорить о первой и второй автомодельных областях. Значение автомодельности для практики моделирования совершенно очевидно, так как оно позволяет осуществить подобие на модели любых размеров с использованием любой рабочей жидкости.

Наши рекомендации