Д – псевдоконическая; е – поликоническая; ж - псевдоазимутальная

Математическая основа карт

Учебно-методическое пособие

Барнаул 2011

УДК 528. 9

Рецензенты:

Заведующий кафедрой «Физической географии и ГИС» АГУ, д.г.н., профессор А.Ш. Хабидов.

Доцент кафедры «Землеустройства, земельного и городского хозяйства» АГАУ, к.б.н В.А. Мерецкий.

Е.Г. Ещенко Математическая основа карт: учебно-методическое пособие.- Барнаул: Изд-во АГАУ, 2011.- 74 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для изучения теоретических основ раздела «Математическая основа карт» и выполнения лабораторно–практических работ по дисциплине «Картография».

Пособие содержит теоретический материал по изучаемой теме, который поможет студенту научиться распознавать картографические проекции, вычислять и строить некоторые виды проекций.

Предназначено для подготовки бакалавров очного и заочного обучения по направлению 120700 «Землеустройство и кадастры».

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета природообустройства (протокол № 3 от 17 ноября 2011 г.).

© Ещенко Е.Г, 2011

© ФГБОУ ВПО АГАУ, 2011

© Издательство АГАУ, 2011

Содержание

	Теория математической основы карт
	Задание 1. Определение картографических проекций
	Задание 2. Вычисление нормальной равноугольной конической проекции (с двумя главными параллелями)
	Задание 3. Вычисление нормальной равноугольной цилиндрической проекции
	Приложения
	Список используемой литературы

Теория математической основы карт

Картографическая проекция – математически выраженные правила, по которым поверхность Земли проектируют на плоскость.

Проекция устанавливает однозначное соответствие между геодезическими координатами точек (широтой и долготой λ)и их прямоугольными координатами ( и )на карте. Уравнения проекций в общей форме выглядят следующим образом:

);

Конкретные реализации функций f₁и f₂часто выражены довольно сложными математическими зависимостями, их число бесконечно, а следовательно, разнообразие картографических проекций практически неограниченно. Проекция должна удовлетворять следующим условиям:

1. каждая точка эллипсоида ( и λ) изображается на плоскости соответствующей точкой и ;

2. изображение должно быть непрерывным.

Картографические проекции обычно различают по характеру искажений и по виду вспомогательной геометрической поверхности, с помощью которой сеть меридианов и параллелей с эллипсоида (шара) переносят на плоскость. Практически ценным является подразделение по территориальному охвату. По территориальному охвату выделяются картографические проекции для карт мира, полушарий, материков и океанов, карт отдельных государств и их частей. По этому принципу построены таблицы – определители картографических проекций.

По характеру искажений, возникающих при изображении поверхности Земли на плоскости картографические проекции делят на равноугольные (конформные), равновеликие (эквивалентные), равнопромежуточные (эквидистантные), произвольные.

Равновеликие (эквивалентные) проекции – сохраняют площади без искажений. Такие проекции удобны для измерения площадей объектов, однако, в них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий (рис. 1).

Равнопромежуточные (эквидистантные) проекции- произвольные проекции, вкоторых масштаб длин по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам -в нихбез искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопромежуточные по параллелям-в них сохраняется постоянным масштаб вдоль параллелей. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они уравновешиваются (рис. 2).

Произвольные проекции- это все остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая некоторого компромисса. Например, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям. Частным случаем произвольных проекций являются равнопромежуточные проекции.

Равноугольные (конформные) проекции - оставляют без искажений углы иформы контуров, показанных на карте. Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются. Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на навигационных картах. Однако карты, составленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей (рис. 3).

Рис. 1. Искажения в равновеликой цилиндрической проекции.

Рис. 2. Искажения в равнопромежуточной цилиндрической проекции.

Рис. 3. Искажения в равноугольной цилиндрической проекции.

Вспомогательными поверхностями при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры.

Картографические проекции делят на азимутальные, цилиндрические, конические, условные, многогранные.

Такая классификация является результатом развития теории картографических проекций.

Азимутальные проекции.Это проекции, в которых параллели - полные концентрические окружности, меридианы - их радиусы, углы между которыми равны соответствующим разностям долгот (рис. 5, в) Они выгодны для изображения материков, территорий с округлой конфигурацией. Изображения около точки касания плоскости земного эллипсоида почти не искажается. Точка касания является точкой нулевых искажений.

В зависимости от положения точки касания плоскости на поверхности земного эллипсоида проекции делятся (рис. 4):

- нормальные (полярные), когда плоскость касается Земли в одном из полюсов; вид сетки: меридианы – прямые линии, радиально расходящиеся из полюса, параллели – концентрические окружности с центрами в полюсе.

- поперечные (экваториальные), когда плоскость касания эллипсоида в одной точке экватора; вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии (могут быть и прямыми).

- косые (горизонтальные), когда плоскость, касается эллипсоида в какой – либо точке, лежащей между полюсом и экватором. В косых проекциях только средний меридиан, на котором расположена точка касания, представляет собой прямую, остальные меридианы м параллели – кривые линии.

Рис. 4. Шар и его ортографические проекции

Цилиндрические проекции.Это проекции, в которых меридианы изображаются равностоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к меридианам (в общем случае не равноотстоящими) (рис. 5, а). Они выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора. Искажения минимальны вблизи линии касания или двух линий сечения цилиндра земного эллипсоида, являющихся линиями нулевых работ.

В зависимости от ориентировки цилиндра относительно оси земного эллипсоида различают проекции:

- нормальные, когда ось цилиндра совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы в этом случае представляют собой равноотстоящие параллельные прямые, а параллели – прямые, им перпендикулярные.

- поперечные, ось цилиндра лежит в плоскости экватора, вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии.

- косые, когда ось цилиндра составляет с осью эллипсоида острый угол; в косых цилиндрических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

Конические проекции.Это такие проекции, в которых параллели изображаются дугами концентрических окружностей (проведенных из одного центра), а меридианы - радиальные прямые, расходящиеся из общего центра проведения параллелей под углами, пропорциональными разности долгот (рис. 5, б). В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Проекции применяют для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Искажения мало ощутимы вдоль линии касания или двух линий сечения конуса земного эллипсоида, которые являются линией нулевых искажений.

Конические проекции делятся:

- нормальные, когда ось конуса совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы этих проекций представлены прямыми линиями, расходящимися из вершины конуса, а параллель – дугами конических окружностей.

- поперечные, когда ось конуса лежит в плоскости экватора; вид сетки: средний меридиан и параллель касания – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии.

- косые, ось конуса составляет осью эллипсоида острый угол; в косых конических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

В нормальных цилиндрических, азимутальных и конических проекциях картографическая сетка ортогональна – меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами, это главный признак этих проекций.

В проекциях существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты – это линии точки нулевых искажений.

Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий. Например, желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. К условным проекциям принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций.

Псевдоцилиндрические проекции - проекции, в которых параллели - прямые линии (как и в нормальных цилиндрических проекциях), средний меридиан - перпендикулярная им прямая, а остальные меридианы - кривые, увеличивающие свою кривизну по мере удаления от среднего меридиана (рис. 5, г). Чаще всего эти проекции применяют для карт мира и Тихого океана.

Псевдоконические проекции- такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан - прямая линия, а остальные меридианы -кривые, причем кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана (рис. 5, д). Применяются для карт России, Евразии, других материков.

Поликонические проекции- проекции, получаемые в результате проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов (рис. 5, е). В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.

Псевдоазимутальныепроекции- видоизмененные азимутальные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях параллели представляют собой концентрические окружности, а меридианы - кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов (рис. 5, ж). Поперечные и косые псевдоазимутальные проекции имеют общую овальную форму и обычно применяются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым.

Многогранные проекции- проекции, получаемые путем проектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольник, квадрат, ромб). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции характеризуются тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт.

Рис. 5. Вид сетки меридианов и параллелей в разных картографических проекциях.

а – цилиндрическая; б – коническая; в – азимутальная; г – псевдоцилиндрическая;

д – псевдоконическая; е – поликоническая; ж - псевдоазимутальная

Задание 1. Определение картографических проекций

Цель задания. Изучить наиболее распространенные картографические проекции и уметь их распознавать по виду сетки меридианов и параллелей.

Задание. Определить картографические проекции географических карт в указанных ниже вариантах.