Модальный анализ динамических свойств энергосистемы

Основные определения и вывод основных уравнений

Модальный анализустойчивости требует приведения модели энергосистемы к нормальному виду, т.е. все линеаризованные дифференциальные уравнения должны быть разрешены относительно производных по времени

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru - вектор переменных состояний системы порядка n,

R – квадратная матрица состояния системы, размером Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Таким образом, для системы порядка n модель имеет вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Система линейных уравнений малых колебаний для сложной энергосистемы

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

записанная в матричной форме

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

представляет собой модель, содержащую вторые производные переменных состояния по времени (в данном случае углов отклонения роторов от синхронной оси).

На примере одногенератороной системы можно рассмотреть приведение математической модели

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

к нормальному виду.

Поскольку первая производная угла отклонения по времени является угловой скоростью

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

следовательно

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

откуда

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Полученная модель приведена к форме, содержащей только первые производные по времени, за счет введения дополнительных переменных состояния и удвоения ранга матрицы состояния энергосистемы.

Решение системы для любой переменной состояния может быть записано в виде суммы составляющих движения

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – корень системы,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – амплитуда движения, включающая два сомножителя

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – сомножитель, не зависящий от начальных условий и определяемый только параметрами системы,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – сомножитель, зависящий от начальных условий.

Таким образом, переменная состояния определяется из выражения

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Выражение для определения всей совокупности переменных состояния можно записать в виде системы уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

или в матричной форме

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Слагаемые правой части уравнения называется модами движения, а входящие в них столбцы – модальными векторами.

Пусть число генерирующих узлов n=2, переменные состояния Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – углы отклонения роторов генераторов от синхронной оси

В данном примере для двухгенераторной электроэнергетической системы

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Переменная состояния Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – суперпозиция колебаний различной частоты ротора генератора при нарушении установившегося режима работы энергосистемы (см. рис. 45).

Угол отклонения ротора первого генератора от синхронной оси определяется по формуле

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – амплитуды колебаний с частотами Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru для ротора первого генератора;

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – собственные частоты малых колебаний первого и второго генераторов ( Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru );

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – их декременты затухания.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 45. Зависимость переменной состояния от времени

Для рассматриваемого примера состояние системы устойчиво т.к. суперпозиция колебаний обоих частот имеет тенденцию к затуханию (см. рис. 45).

В общем случае выражение для столбца переменных состояния может быть записано через квадратную модальную матрицу, столбцами которой являются модальные вектора

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Поскольку производная от экспоненты

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

следовательно, для левой части уравнения модели приведенной к нормальному виду

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

верно выражение

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

или же

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Для правой части в свою очередь верно выражение

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Таким образом, для каждого Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru -го корня Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru выполняется следующее равенство

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

что при сокращении сомножителей Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru дает уравнение

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Таким образом, полученное матричное уравнение не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы.

Из матричной алгебры известно, что если для некого числа Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru верно

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – квадратная матрица, Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – столбец, то Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – собственный вектор матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – собственное значение Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Собственные значения определяются из условия

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Раскрытие характеристического определителя

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

дает характеристическое уравнение

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

решение которого позволяет найти все собственные значения.

Матрица Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru размером Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru имеет n собственных значений.

Собственные вектора определяются из уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru - единичная матрица

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

в которое поочередно подставляются все собственные значения.

Каждое собственное значение соответствует определенному собственному вектору матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Собственное значение может быть действительным корнем Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru (апериодическое движение) или одним из пары комплексно сопряженных корней Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru (колебательное движение с частотой Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и декрементом затухания Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ).

Собственный вектор определяет соотношение амплитуд колебаний роторов генераторов с частотой Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , т.е. форму или же моду j-го движения)

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Модальная матрица определяет совокупность всех мод движения. На рис. 46 показан временной срез моды – форма колебательного движения с частотой Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru для энергосистемы состоящей из пяти генераторных узлов (см. рис. 47). Высота столбца гистограммы над номером некого генератора, соответствует значению одного из элементов собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , а в физическом смысле это амплитуда колебаний ротора данного генератора с указанной частотой Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 46. Форма (мода) j-го движения

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 47. Схема энергосистемы

Модальная теория изучает совокупность динамических свойств энергосистемы, на основании определения собственных значений и собственных векторов матрицы состояний энергосистемы.

Для определения собственного вектора необходимо решить следующую систему

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Однако, т.к. Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – это корень из уравнения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , следовательно система данная будет линейно зависима. Для решения этой проблемы необходимо произвольно задать один из компонентов собственного вектора (например, Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ), исключив тем самым одно из уравнений и решив систему Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru порядка с Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru неизвестным. В таком случае собственный вектор определяется с точностью до константы

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Пусть математическая модель представлена системой уравнений второго порядка

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

которая при записи в матричной форме имеет вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где элементами столбцов являются переменные состояния, квадратная матрица – матрица состояния Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Собственные значения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru матрицы состояния Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru определяются из условия

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

которое для данного примера имеет вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Решение характеристического уравнения, полученного при раскрытии определителя, позволяет найти собственные значения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru являющиеся его корнями:

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Для определения собственных векторов найденные собственные значения поочередно подставляются в систему уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

При подстановке первого собственного значения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru данная система приобретает вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

то есть имеет место система линейно зависимых уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

В таком случае один из компонентов собственного вектора задается произвольно, например

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

тогда

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Следовательно, первый собственный вектор

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

При подстановке второго собственного значения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru имеет место система также линейно зависимых уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

При аналогичном задании одного из компонентов ( Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ) второй собственный вектор имеет вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

В таком случае решение для переменных состояния

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Пусть переменные состояния – углы отклонения роторов от синхронной оси в энергосистеме с двумя генераторными узлами

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Изменение во времени углов отклонения роторов генераторов от синхронной оси показаны на рис. 48. Наличие положительного действительного корня, как показано на рисунке, ведет к неограниченному росту углов отклонения, т.е. к апериодическому нарушению статической устойчивости.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 48. Зависимости углов отклонения роторов генераторов от синхронной оси

Этапы модального анализа динамических свойств

сложных энергосистем

Динамические свойства энергосистемы определяются следующими параметрами:

1) частота электромеханических колебаний (ЭМК) ротора генератора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

2) коэффициент затухания – Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

3) соотношение амплитуд колебаний роторов генераторов на частоте Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , т.е. компоненты собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , соответствующее данному собственному значению Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Модальный анализ включает следующие этапы:

1. приведение математической модели энергосистемы к виду

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

2. вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы энергосистемы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru из условий

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

3. выделение мод электромеханических колебаний, т.е. выделение из всей совокупности вычисленных собственных значений Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru пар комплексно сопряженных собственных значений соответствующих Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru модам электромеханических колебаний, где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – число синхронных машин;

4. выделение из полной модальной матрицы подматрицы собственных векторов соответствующих модам электромеханических колебаний

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

и выделение из указанных векторов элементов соответствующих углам отклонения роторов

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

что дает выделенную подматрицу размером Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

5. нормирование собственного вектора путем определения максимального по модулю элемента, на который делятся все остальные

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Анализ мод электромеханических колебаний (ЭМК)

Существуют следующие виды мод ЭМК:

· Системные,

· Подсистемные,

· Локальные.

Вышеуказанные Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru пар комплексно сопряженных собственных значений дает спектр ЭМК, который по разному проявляется в режимных параметрах. Наиболее опасными являются низкочастотные слабозатухающие электромеханические колебания, которые охватывают всю энергосистему и проявляются в виде колебаний с наибольшей амплитудой во всех режимных параметрах. Следовательно, необходимо установить иерархию частот, выделив в первую очередь низкочастотные колебания. Для этого необходимо проанализировать компоненты собственного вектора выделенной подматрицы.

Иерархия мод определяется двумя признаками собственного вектора:

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – модуль собственного вектора,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – фаза собственного вектора.

Для отличия системных мод от локальных используются различия по модулю компонент собственного вектора. Если модули всех элементов собственного вектора лежат в диапазоне Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , следовательно,мода системная. Если Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru для какого – либо i, то мода является локальной.

Для отличия системных мод от подсистемных используются различия по фазе собственного вектора.

Пусть имеется энергосистема, содержащая шесть генераторных узлов и такое же количество синхронных машин (см. рис. 49). Собственные значения и собственные вектора матрицы состояния данной энергосистемы приведены в табл. 2.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 49. Схема электрической сети, содержащей генераторные узлы

Табл. 2. Собственные значения и собственные вектора матрицы состояния энергосистемы приведенной на рис. 48.

Собственное значение Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru (частота), рад/с 4,8 7,9 15,6
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Поскольку вещественные части всех собственных значений в рассматриваемом примере отрицательны, система является статически устойчивой.

Первая мода, соответствующая частоте Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , является системной, поскольку для всех модулей компонент ее собственного вектора верно Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru . По признакам фаз элементов собственного вектора она разбивается на две подсистемные моды (см. рис. 50)

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 50. Элементы собственного вектора системной моды

Вторая мода, соответствующая частоте Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , является локальной, поскольку два из шести компонент ее собственного вектора меньше десятой части максимального компонента, т.е. амплитуда колебаний роторов двух генераторов на данной частоте меньше десятой части амплитуды для второго генератора, для которого данная частота колебаний является собственной

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

по признакам фаз элементов собственного вектора данная мода также разбивается на две подсистемные.

Третья мода, соответствующая частоте Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , также является локальной, поскольку

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Аналогично производится анализ остальных мод ЭМК.

Следующим этапом является проверка качества демпфирования. Демпфирование на частоте j-го ЭМК является удовлетворительным, если Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и неудовлетворительным при Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru . Как видно из табл. 2 для первой моды демпфирование неудовлетворительно, а для остальных мод (для всех j принадлежащих диапазону 2…5) Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и демпфирование удовлетворительно.

Первая мода вследствие ее низкочастотности проявляется во всей системе, но больше всего в режимных параметрах первого генератора, для которого ее частота является частотой собственных колебаний. Для получения удовлетворительного демпфирования необходимо повысить декремент затухания на системной частоте, т.е. подобрать настройки первого генератора таким образом, чтобы демпфировалась частота первой моды.

Каждой моде j-й электромеханических колебаний соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений матрицы состояния энергосистемы

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Паре комплексно сопряженных собственных значений в свою очередь соответствует пара комплексно сопряженных собственных векторов (см. рис. 51)

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 51. Пара комплексно сопряженных собственных векторов

Как было показано выше решение для переменной состояния (в данном случае угла отклонения) записывается в виде

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Каждому слагаемому этой суммы соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений и пара комплексно сопряженных собственных векторов

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Если записать данное выражение через показательные степени

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

и вынести общие сомножители за скобки

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

то полученное уравнение соответствует уравнению гармонических колебаний

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Для рассматриваемого примера (см. табл. 2) угол отклонения ротора первого генератора можно также записать как сумму, каждое слагаемое которой соответствует частоте одной из мод ЭМК

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Амплитуды трех последних мод на два порядка меньше системной, их демпфирование удовлетворительно, поэтому ими можно пренебречь.

Периоды ЭМК первой и второй мод соответственно

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Декремент затухания первой моды α= –0,03 (что означает уменьшение амплитуды в e раз за 30 с, т.е. за 20 периодов), амплитуда колебаний с частотой первой моды для ротора первого генератора U11=1, фаза φ11=0.

Декремент затухания второй моды α= –0,25 (что означает уменьшение амплитуды в e раз за 4 с, т.е. за 5 периодов), амплитуда колебаний с частотой второй моды для ротора первого генератора U12=0,1, фаза φ12=174°.

ЭМК первой и второй мод для первого генератора рассматриваемого примера и их результирующая кривая показаны на рис. 52.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Рис. 52. Временная зависимость угла отклонения ротора генератора от синхронной оси

Приведение математической модели энергосистемы

к системе дифференциальных уравнений

первого порядка

Приведение математической модели энергосистемы к данной форме необходимо для модального анализа устойчивости. Дифференциальные уравнения любого порядка

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

можно привести к дифференциальному уравнению первого порядка с помощью замен

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

в результате чего исходное уравнение приобретает вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

или же при введении оператора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Пусть энергосистема содержит три синхронных генератора, которые находятся, соответственно, в трех узлах электрической сети. Как показано в [9], в этом случае уравнения движения роторов генераторов имеют вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

и мощности генераторов определяются из выражений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Разложение уравнений движения роторов генераторов в ряд Тейлора без учета членов разложения, содержащих производные выше первой, дает систему уравнений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

При введении обозначений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

число уравнений в системе удваивается, но они содержат производные только первого порядка

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Таким образом, система уравнений приведена к виду

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

или же

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где элементы матрицы состояния рассматриваемой энергосистемы определяются из выражений

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Методы определения собственных значений

и собственных векторов матрицы состояния энергосистемы

Указанные методы делятся на два основных класса:

1) Методы определяющие по одному собственному значению и одному собственному вектору в одном интервале цикле:

a. Степенной метод;

b. Метод обратной матрицы,

2) Методы определяющие весь спектр собственных векторов и собственных значений в одном интервале цикле:

a. QR-алгоритм;

b. QL-алгоритм.

Степенной метод

Собственные значения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и собственные вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru квадратной матрицы состояния Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru удовлетворяют уравнению

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

В начале первой итерации степенного метода произвольно задается начальное приближение первого собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru соответствующего первому собственному значению матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

причем начальное приближение должно быть ненулевым

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Затем определяется следующее приближение собственного вектора по формуле

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Поскольку

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

следовательно

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Для определения первого приближения собственного значения λ необходимо умножить обе части последнего уравнения на транспонированные столбцы начального приближения собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru (произведение строки и столбца дает число, что соответствует размерности собственного значения λ)

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

откуда

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Для степенного метода k-я итерация включает следующие этапы:

1. определение нового приближения собственного вектора

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

2. определение нового приближения собственного значения

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

3. проверка сходимости итерационного процесса

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Таким образом, k-е приближение собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru представляет собой произведение его начального приближения Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru на матрицу Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru в k-й степени

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

откуда и название метода - степенной.

Степенной метод со сдвигом

Для определения второго собственного значения матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , формируется матрица Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , диагональные элементы которой сдвинуты относительно Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru на Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , т.е.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

причем Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru вычисляется способом, описанным выше.

В итерационном цикле вычисляются Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – собственное значение матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Для данного итерационного цикла каждый k-й шаг включает следующие этапы:

1) умножение матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru на значение ее собственного вектора, найденного на предыдущей итерации

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

2) определение нового приближения собственного значения матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ;

3) Проверка сходимости

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

где Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – заданное число, характеризующее точность расчета;

4) Определение k-го приближения собственного вектора Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru делением столбца, найденного в первом пункте, на максимальный по модулю элемент данного столбца

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

После того, как в результате данного итерационного цикла с заданной точностью находится собственное значение Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru , определяется следующее собственное значение матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru по формуле

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Для определения третьего собственного значения матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru формируется матрица Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru со сдвигом диагональных элементов относительно Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru на Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru + Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

В результате итерационного цикла определяется Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru – собственное значение матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru и затем определяется третье собственное значение матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Таким образом, можно найти все или необходимое число собственных значений матрицы Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Пусть Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru представляет собой матрицу третьего порядка

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

а начальное приближение собственного вектора

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Тогда первые приближения собственного вектора и собственного значения, вычисляемые в процессе первого итерационного шага

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru ,

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru .

Второй итерационный шаг степенного метода для данного примера имеет вид

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы - student2.ru

Наши рекомендации