Точечные и интервальные оценки показателей надежности

Статистические определения показателей надежности являются их точечными оценками. Для определения показателей надежности проводятся наблюдения в процессе эксплуатации либо специальные испытания. Информация, полученная в результате этих наблюдении или испытаний, обрабатывается методами математической статистики.

При испытаниях по плану NUN на испытания ставится N систем. Испытания ведутся до отказа всей системы. Время отказа t¡ фиксируется. В этом случае оценка средней наработки до отказа определяется следующим образом

T = (20.1)

Такие определение применим при любых законах распределения наработки до отказа. Для экспоненциального распределения при всех других рассмотренных выше планах испытании (кроме плана NUN) точечная оценка средней наработки до отказа определяется

T = (20.2)

где Ѕ – суммарная наработка всех систем за время испытаний, - суммарное число отказов всех систем за время испытаний.

Например при плане NUТ

S = + (N-m)T, (20.3)

где m – число систем, отказавших в интервале (О,Т), t¡ - наработка до отказа i–й системы из числа отказавших (i = 1,m ).

При плане испытаний NUR

S = + (N-r)t , (20.4)

где tr – время фиксации последнего отказа.

Для плана NRТ и простейшего потока, у которого время между отказами подчиняются экспоненциальному распределению, оценка Т* ср осуществляется по формуле:

T = = (20.5)

Оценка интенсивности отказов λ* при экспоненциальном распределении может быть определена через оценку средней наработки до отказа:

λ* = 1/ T (20.6)

Например, при плане NUN

λ* = N/ (20.7)

Оценка параметра ω* простейшего потока совпадает с оценкой интенсивности отказов λ*.

Например, при плане NRТ

ω* = λ* = / NТ (20.8)

При нормальном распределении, кроме оценки средней наработки до отказа, часто требуется найти точечную оценку и второго параметра этого распределения σ*, равного среднеквадратическому отклонению. Например, при плане NUN

σ* = (20.9)

где время отказа t фиксируется.

Оценки вероятности отказа Q (t) до момента t :

Q (t) = n(t)/ N, (20.10)

где n(t) – число систем, отказавших к моменту t, могут быть найдены за ограниченный интервал времени t = Т и соответствует плану испытаний NUТ.

Интервальные оценки

Использование средних значении показателей надежности, получаемых путем точечной оценки позволяет решать задачи, возникающие в инженерной практике. Однако знание только среднего значения показателя надежности не всегда достаточно. Например, пусть n1 и n2 - соответственно число отказов, полученных при первом (испытывалось 10 изделий) испытаниях. Получены следующие результаты испытаний по плану NUN.

t 100 200 300 400 500 600 700 800

n1 6 5 3 3 1 1 1 1

n2 1 2 4 2 1 - - -

Средние значения наработки на отказ по результатам первого и второго испытаний одинаковы по приближенным формулам

Т*ср1 = 6300/21 = 300час.; Т*ср2 = 3000/10 = 300 час.

Но результаты первого испытания существенно отличаются от результатов второго испытания, прежде всего потому, что законы распределения времени до отказов нельзя считать одинаковыми (в первом он приближается к экспоненциальному, во втором – к нормальному). Количество испытуемых объектов на первом испытании более чем в два раза превышает количество объектов на втором испытании. Это вынуждает искать способы представить на основании результатов испытаний более информативные оценки по сравнению со средними. Одним из таких способов – способ оценки показателей надежности доверительным интервалом.

Если испытывать всю партию, а не выборку из нее, то полученные характеристики называют генеральными. Обычно при испытаниях из генеральной совокупности выбираются n - образцов и испытываются. По результатам выборочных испытаний делается суждение (оценка) о надежности всей партии. При этом, естественно допускается некоторая ошибка

Δx = / x – x /,

где Δx – абсолютная ошибка среднего, x – выборочное среднее значение показателя надежности, x – генеральная средняя (истинное значение показателя надежности).

Следовательно, истинное значение заключено в интервале:

x – Δx < x < x + Δx, (20.11)

где x ± Δx – называется доверительным интервалом, причем «+» соответствует верхней доверительной границе, а знак «-» нижней доверительной границе параметра x₀. Однако, и такое утверждение не может считаться абсолютно достоверным, поскольку не указана надежность получаемого результата. Надежность результата оценивается так называемой доверительной вероятностью. Таким образом, доверительный интервал характеризует точность оценки, а доверительная вероятность – ее достоверность.

Доверительная вероятность α- это вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины попадает в найденный доверительный интервал, т.е.:

α= Р [x – Δx < xо < x + Δx] (20.12)

Величина доверительного интервала зависит от объема выборки и доверительной вероятности. Между доверительным интервалом и доверительной вероятностью так же существует определенная связь, которая зависит от закона распределения.

Кроме доверительной вероятности, еще используется термин – уровень значимость β.

Уровень значимость определяет вероятность того, что истинное значение выйдет из доверительной границы. Между α и β существует связь β = 1 - α.

Значение доверительного интервала получают на основании информации о законе распределения времени до появления отказа (наработка до отказа). Числовые значения границ доверительного интервала зависят не только от заданной доверительной вероятности, но и от закона распределения случайной величины (например, времени до появления отказа). В некоторых литературах имеются специальные таблицы, позволяющие определять доверительные интервалы для различных законов распределения. В инженерной практике чаще всего приходится определять доверительные интервалы для: средней наработки на отказ по зафиксированным временам возникновения отказов; вероятности отказа по числу отказавших систем (изделий).

Построение доверительного интервала покажем на примере.

Испытание систем на безотказность, проведенные по плану NUN (где N = 10) показали следующие наработки до отказа

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8	t9	t10

Требуется найти: точечную оценку среднего времени безотказной работы; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,95.

Полагаем, что среднее время безотказной работы распределена по нормальному закону.

Среднее время безотказной работы:

T = = 119 час.

Среднеквадратическое отклонение:

σ = = 17,2 час.

Величину доверительного интервала можно определить используя распределения Стьюдента:

Δx = t = 2,262*17,2/3,16 = 12 час.

где t - функция распределения Стьюдента, определяется по специальной таблице, если известно и N.

Следовательно:

T - Δx < То < T + Δx,

где То – истинное значение.

Если подставить числовые значение, получим 119 – 12 < То< 119+12 или 107< То< 131, т.е. среднее время безотказной работы лежат в пределах 117 ÷ 131 час с вероятностью 0,95.

Литература осн. 1 [190 - 198], осн. 2 [81 - 90].

Контрольные вопросы:

1) Опишите принципы определения точечных оценок

2) Опишите принципы определения доверительных интервалов

3) Понятие доверительной вероятности

4) Причина применения интервальной оценки.