Точечные и интервальные оценки показателей надежности
Статистические определения показателей надежности являются их точечными оценками. Для определения показателей надежности проводятся наблюдения в процессе эксплуатации либо специальные испытания. Информация, полученная в результате этих наблюдении или испытаний, обрабатывается методами математической статистики.
При испытаниях по плану NUN на испытания ставится N систем. Испытания ведутся до отказа всей системы. Время отказа t¡ фиксируется. В этом случае оценка средней наработки до отказа определяется следующим образом
T = (20.1)
Такие определение применим при любых законах распределения наработки до отказа. Для экспоненциального распределения при всех других рассмотренных выше планах испытании (кроме плана NUN) точечная оценка средней наработки до отказа определяется
T = (20.2)
где Ѕ – суммарная наработка всех систем за время испытаний, - суммарное число отказов всех систем за время испытаний.
Например при плане NUТ
S = + (N-m)T, (20.3)
где m – число систем, отказавших в интервале (О,Т), t¡ - наработка до отказа i–й системы из числа отказавших (i = 1,m ).
При плане испытаний NUR
S = + (N-r)t , (20.4)
где tr – время фиксации последнего отказа.
Для плана NRТ и простейшего потока, у которого время между отказами подчиняются экспоненциальному распределению, оценка Т* ср осуществляется по формуле:
T = = (20.5)
Оценка интенсивности отказов λ* при экспоненциальном распределении может быть определена через оценку средней наработки до отказа:
λ* = 1/ T (20.6)
Например, при плане NUN
λ* = N/ (20.7)
Оценка параметра ω* простейшего потока совпадает с оценкой интенсивности отказов λ*.
Например, при плане NRТ
ω* = λ* = / NТ (20.8)
При нормальном распределении, кроме оценки средней наработки до отказа, часто требуется найти точечную оценку и второго параметра этого распределения σ*, равного среднеквадратическому отклонению. Например, при плане NUN
σ* = (20.9)
где время отказа t фиксируется.
Оценки вероятности отказа Q (t) до момента t :
Q (t) = n(t)/ N, (20.10)
где n(t) – число систем, отказавших к моменту t, могут быть найдены за ограниченный интервал времени t = Т и соответствует плану испытаний NUТ.
Интервальные оценки
Использование средних значении показателей надежности, получаемых путем точечной оценки позволяет решать задачи, возникающие в инженерной практике. Однако знание только среднего значения показателя надежности не всегда достаточно. Например, пусть n1 и n2 - соответственно число отказов, полученных при первом (испытывалось 10 изделий) испытаниях. Получены следующие результаты испытаний по плану NUN.
t 100 200 300 400 500 600 700 800
n1 6 5 3 3 1 1 1 1
n2 1 2 4 2 1 - - -
Средние значения наработки на отказ по результатам первого и второго испытаний одинаковы по приближенным формулам
Т*ср1 = 6300/21 = 300час.; Т*ср2 = 3000/10 = 300 час.
Но результаты первого испытания существенно отличаются от результатов второго испытания, прежде всего потому, что законы распределения времени до отказов нельзя считать одинаковыми (в первом он приближается к экспоненциальному, во втором – к нормальному). Количество испытуемых объектов на первом испытании более чем в два раза превышает количество объектов на втором испытании. Это вынуждает искать способы представить на основании результатов испытаний более информативные оценки по сравнению со средними. Одним из таких способов – способ оценки показателей надежности доверительным интервалом.
Если испытывать всю партию, а не выборку из нее, то полученные характеристики называют генеральными. Обычно при испытаниях из генеральной совокупности выбираются n - образцов и испытываются. По результатам выборочных испытаний делается суждение (оценка) о надежности всей партии. При этом, естественно допускается некоторая ошибка
Δx = / x – x /,
где Δx – абсолютная ошибка среднего, x – выборочное среднее значение показателя надежности, x – генеральная средняя (истинное значение показателя надежности).
Следовательно, истинное значение заключено в интервале:
x – Δx < x < x + Δx, (20.11)
где x ± Δx – называется доверительным интервалом, причем «+» соответствует верхней доверительной границе, а знак «-» нижней доверительной границе параметра x0. Однако, и такое утверждение не может считаться абсолютно достоверным, поскольку не указана надежность получаемого результата. Надежность результата оценивается так называемой доверительной вероятностью. Таким образом, доверительный интервал характеризует точность оценки, а доверительная вероятность – ее достоверность.
Доверительная вероятность α- это вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины попадает в найденный доверительный интервал, т.е.:
α= Р [x – Δx < xо < x + Δx] (20.12)
Величина доверительного интервала зависит от объема выборки и доверительной вероятности. Между доверительным интервалом и доверительной вероятностью так же существует определенная связь, которая зависит от закона распределения.
Кроме доверительной вероятности, еще используется термин – уровень значимость β.
Уровень значимость определяет вероятность того, что истинное значение выйдет из доверительной границы. Между α и β существует связь β = 1 - α.
Значение доверительного интервала получают на основании информации о законе распределения времени до появления отказа (наработка до отказа). Числовые значения границ доверительного интервала зависят не только от заданной доверительной вероятности, но и от закона распределения случайной величины (например, времени до появления отказа). В некоторых литературах имеются специальные таблицы, позволяющие определять доверительные интервалы для различных законов распределения. В инженерной практике чаще всего приходится определять доверительные интервалы для: средней наработки на отказ по зафиксированным временам возникновения отказов; вероятности отказа по числу отказавших систем (изделий).
Построение доверительного интервала покажем на примере.
Испытание систем на безотказность, проведенные по плану NUN (где N = 10) показали следующие наработки до отказа
t1 | t2 | t3 | t4 | t5 | t6 | t7 | t8 | t9 | t10 |
Требуется найти: точечную оценку среднего времени безотказной работы; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,95.
Полагаем, что среднее время безотказной работы распределена по нормальному закону.
Среднее время безотказной работы:
T = = 119 час.
Среднеквадратическое отклонение:
σ = = 17,2 час.
Величину доверительного интервала можно определить используя распределения Стьюдента:
Δx = t = 2,262*17,2/3,16 = 12 час.
где t - функция распределения Стьюдента, определяется по специальной таблице, если известно и N.
Следовательно:
T - Δx < То < T + Δx,
где То – истинное значение.
Если подставить числовые значение, получим 119 – 12 < То< 119+12 или 107< То< 131, т.е. среднее время безотказной работы лежат в пределах 117 ÷ 131 час с вероятностью 0,95.
Литература осн. 1 [190 - 198], осн. 2 [81 - 90].
Контрольные вопросы:
1) Опишите принципы определения точечных оценок
2) Опишите принципы определения доверительных интервалов
3) Понятие доверительной вероятности
4) Причина применения интервальной оценки.