Справочные материалы к заданию 3

Функцией распределения F(х) называется функция, равная вероятности того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение, меньшее значения аргумента х: .

Условие нормировки:

для дискретной случайной величины ;

для непрерывной случайной величины

Соотношение между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей для непрерывной случайной величины:

Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал [a;b):

;

для непрерывной случайной величины .

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины вычисляются по формулам:

, .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:

,

.

Задание 3.

Каждый вариант третьего задания состоит из двух пунктов:

3.1. Изучение закона распределения непрерывной величины;

3.2. Изучение закона распределения дискретной величины.

Задание 3.1.

Дана функция плотности распределения f(x) случайной величины Х.

1. Найдите значение константы с.

2. Постройте график функции плотности распределения y=f(x).

3. Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.

4. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

5. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в отрезок .

N		a	b
		0.1	0.5

Пример выполнения задания 3.1. Вариант 26.

Используя условие нормировки, найдем значение константы:

Зададим плотность распределения (для определения кусочно-непрерывной функции используется AddLine панели математических инструментов programming) и построим ее график:

Вычисляя интеграл от плотности распределения, зададим функцию распределения вероятностей и построим ее график. В связи с тем, что, по умолчанию, вычисления в системе Mathcad проводятся с точностью до 20 знаков, воспользуемся функцией float панели Symbolic, которая позволяет выводить результат с выбранным количеством знаков, в данном примере с четырьмя.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

Найдем вероятность попадания случайной величины в отрезок :

.

Задание 3.2

Задан ряд распределения дискретной случайной величины.

1. Найдите значение р.

2. Постройте многоугольник распределения.

3. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.

4. Найдите функцию распределения и постройте ее график.

5. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал [a;b).

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
x	p	x	p	x	p
	0.1	-3	0.1	-10	0.6
	0.01	-2	0.1	-3	0.05
	0.3		0.05		0.05
5,1	p	1.5	0.05		p
5,2	0.3	1.7	0.07		0.1
5,5	0.2		p		0.05
a=2 b=4	a=-1 b=1,8	a=2 b=9

Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
x	p	x	p	x	p
	0,1	-10	0,1		0,6
	0,01	-7	0,1		0,05
	0,3	-6.5	0,05		0,05
0.5	p	-6	0,05		p
	0,3	-4	0,07		0,1
-1	0,2	-1	p		0,05
a=1.5 b=2,5	a=-9 b=-5	a=2 b=12

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
x	p	x	p	x	p
-2,5	0,05	-8	2р	-3	0,2
-2,2	0,15	-3,5	0,2	-1	р
-2	р	-1	0,15		0,05
-1,5	0,5	-0,8	0,3	3,5	0,25
-1,3	0,1	-0,4	р		0,3
-0,8	0,05		0,2		0,05
a=-1 b=1	a=-6 b=-1,2	a=-4 b=0

Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
x	p	x	p	x	p
	0,4	1,4	0,05		0,2
	0,05	2,5	0,3		р
	0,1	3,0	р	28,5	0,2
	0,15	6,5	0,2		2р
	р	7,9	0,15		0,15
	0,2		0,2		0,05
a=4 b=7	a=2.8 b=7.5	a=26 b=38

Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
x	p	x	p	x	p
-4,5	0,25	-31	3р	-2	0,35
-2	0,1	-29	0,1	-1,5	0,1
-1,5	р	-28	0,2	-0,7	р
-1	0,2	-24	2р		0,15
	0,05	-21	0,4		0,25
	0,25	-19	р		0,1
a=2 b=4	a=-20 b=1	a=2,4 b=9

Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18
x	p	x	p	x	p
-4	0,2	-13	0,05	-6	0,1
	0,1	-10	0,1	-2,5	0,15
	0,15	-9	0,35	-1	р
	0,05	-6	0,25		0,2
	0,3	-5	р		0,05
	р	-2	0,1		0,2
a=2 b=6	a=-8 b=-4	a=1 b=9

Вариант 19	Вариант 20	Вариант 21
x	p	x	p	x	p
	0,3	-8,5	0,15		р
	р	-8	0,2		0,15
	0,15	-6	0,3	2,4	0,1
	р	-3,5	р	3,5	0,25
	0,05	-2,9	0,25		0,2
	0,1	-1	р		0,1
a=32 b=38	a=-7 b=-1.5	a=2.2 b=8.5

Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
x	p	x	p	x	p
-6,5	0,4	-8	0,25	1,2	0,05
-4	р	-7,2	0,3	1,5	3р
-2,7	0,15	-6	р	1,9	0,2
	0,1	-1,8	2р	2,3	2р
	0,2		0,05	2,4	0,15
8,1	0,05	7,4	0,1	2,7	0,1
a=3 b=5	a=-12 b=12	a=1.3 b=2.6

Вариант 25	Вариант 26
x	p	x	p
-2	0,2	-4	3р
	0,05	-3,5	0,1
	0,1	-1	0,15
	0,2		0,3
	р		0,2
	0,15	2,5	2р
a=0 b=6	a=-3 b=1,5

Пример выполнения задания 3.2. Вариант 26

Используя условие нормировки для дискретной случайной величины, составим уравнение, решив которое найдем значение р:

Представим значения случайной величины и вероятности их получения в результате опыта в виде вектор - столбцов:

и построим многоугольник распределения:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Зададим аналитически функцию распределения. Для этого отметим, что справедливы следующие утверждения:

если , то ;

если , то ;

если , то

;

если , то

;

если , то

;

если , то

;

если , то

Как известно, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно – постоянной, а ее график имеет ступенчатый вид. Вообще, график подобной функции в системе Mathcad содержит вертикальные линии, которые можно удалить, выполнив следующие действия: вызовите окно форматирования графика Formatting Currently Selected X-Y Plot, выберите закладку Traces,а в поле Type – тип построения линии points.

Чтобы задать в системе Mathcad кусочную функцию, введите имя функции и знак присваивания. Затем выберите панель Programming и на ней функцию Add Line. Введите выражение для вычисления функции F(y) на первом промежутке (замена аргумента х на у связана с особенностями выполнения задания в системе Mathcad). На той же панели Programming выберите функцию if и введите в свободной позиции неравенства, описывающие первый интервал. После этого перейдите в свободную позицию второй строки и повторите описанные выше действия. Для получения третьей строки необходимо выделить вторую строку, нажимая клавишу пробел, и выбрать функцию Add Line. Эти действия выполняются до получения всех 7 строк.

Построим график функции распределения F(y):

Найдем вероятность попадания значений случайной величины в интервал [-3;1.5):

.