Модуль 6. Диференціальні рівняння.

Контрольна робота № 5 виконується учнями після вивчення наступних розділів програми:

· Диференціальні рівняння першого порядку.

· Диференціальні рівняння другого порядку, що дозволяють знизити порядок.

· Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Завдання 1. Знайти загальний розв’язок (інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку:

1) 2) 3)

4) 5)

► 1) Маємо диференціальне рівняння з відокремленими змінними приведемо рівняння до вигляду

Інтегруємо

Маємо загальний інтеграл диференціального рівняння , С – довільна стала. ◄

► 1) Маємо диференціальне рівняння з відокремленими змінними приведемо рівняння до вигляду

,

Інтегруємо ,

,

,

маємо

– загальний розв’язок диференціального рівняння , С₁ – довільна стала. ◄

► 3) Маємо однорідне диференціальне рівняння першого порядку

Виконаємо підстановку

Застосуємо підстановку

,

Інтегруємо

,

Підставимо замість u її значення

Маємо загальний інтеграл даного диференціального рівняння ,

С – довільна стала. ◄

► 4) Маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, це рівняння містить у першому степені.

Загальний розв’язок такого рівняння шукаємо за формулою:

Маємо

,

,

– загальний розв’язок даного рівняння. ◄

► 5) Маємо рівняння Бернуллі ,

Розділимо рівняння :

,

Використаємо підстановку ,

Тоді і рівняння прийме вигляд

Це лінійне диференціальне рівняння відносно z , .

За формулою знаходимо

,

перейдемо до шуканої функції у . Підставимо замість z її значення . Одержимо:

,

. ◄

Завдання 2. Знайти загальний розв’язок (інтеграл) диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ; 2) ; 3)

► 1) Рівняння другого порядку і не містить функції у та її похідної . Введемо допоміжну змінну . Тоді , маємо

, маємо диференціальне рівняння з відокремленими змінними, інтегруємо :

,

підставимо замість її значення . Тоді отримаємо диференціальне рівняння відносно шуканої функції

у ,

інтегруємо

,

;

– загальний розв’язок рівняння . ◄

► 2) Рівняння другого порядку і не містить функції у ,введемо допоміжну змінну . Тоді , маємо

,

Маємо лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку ,

,

підставимо замість її значення . Тоді отримаємо диференціальне рівняння відносно шуканої функції у

Інтегруємо – загальний розв’язок рівняння . ◄

► 3) Рівняння другого порядку і не містить явно змінну х . Використаємо допоміжну змінну та . Підставимо

та в диференціальне рівняння , маємо

Звідси знаходимо:

а) Тоді – один з розв’язків ;

б) – диференціальне рівняння з відокремленими змінними, інтегруємо :

,

підставимо замість її значення . Тоді отримаємо диференціальне рівняння відносно шуканої функції у :

– довільні сталі

– загальний інтеграл заданого диференціального рівняння . ◄

Завдання 3. Знайти загальний розв’язок (інтеграл) лінійних диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ; 2) ; 3)

Задані лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, їх загальні розв’язки знайдемо з використанням відповідних характеристичних рівнянь.

► 1) Складаємо відповідне характеристичне рівняння шляхом заміни

, і . Маємо

Знайдемо дискримінант цього рівняння за формулою

Знайдемо корені цього рівняння

. Одержали два дійсних різних корені рівняння , тому загальним розв’язком диференціального рівняння буде

– довільні сталі. ◄

► ) Складаємо відповідне характеристичне рівняння шляхом заміни

, і . Маємо

Знайдемо дискримінант цього рівняння

Знайдемо корені цього рівняння . Одержали комплексно спряжені корені, причому , тому загальним розв’язком диференціального рівняння буде

– довільні сталі. ◄

► 3) Складаємо відповідне характеристичне рівняння шляхом заміни

, і . Маємо

Знайдемо дискримінант цього рівняння

Знайдемо корені цього рівняння .Отже, характеристичне рівняння має два дійсних рівних корені , тому

загальним розв’язком диференціального рівняння буде

– довільні сталі. ◄

Контрольна робота № 6