Мощность или кардинальное число множества

Говорят, что множество А равномощно множеству В и пишут А ~ В, если существует биекция множества А на множество В . Так как обратное к биекции отображение и композиция двух биекций суть также биекции, то отношение равномощности А ~ В является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом m(A) данного множества А называется совокупность всех тех множеств В , на которые множество А можно биективно отобразить:

m(A) = {B, $ биекция j : A ® B}

Так как обратное к биекции отображение само является биекцией, то

m(A) = {B, $ биекция j : B ® A}

Поэтому

m(A) = {B, B ~ A}= {B, A ~ B}

Для любых множеств А₁ и А₂ их классы m(A₁) и m(A₂) либо не пересекаются, либо совпадают.

Целые неотрицательные числа можно понимать как кардинальные числа некоторых множеств – эталонов, например:

0 = m(Æ), 2 = m(множество рук человека),

5 = m(множество пальцев на руке человека) и так далее.

Введём ещё обозначения:

a = m(N) , где N - множество всех натуральных чисел,

b = m(R) , где R - множество всех вещественных чисел.

Пусть m₁ и m₂ - два кардинальных числа. Будем говорить, что m₁ предшествует m₂ (или m₁не больше m₂) и писать m₁£ m₂ , если

"A Î m₁ и "BÎ m₂ существует инъекция j из А в В ,

Заметим, что если A, A₁ Î m₁ и B, B₁ Î m₂ , и существует инъекция j из А в В , то существует и инъекция f из А₁ в В₁ . Поэтому достаточно проверить существование инъекции j для выбранных представителей А и B классов m₁ и m₂ . Если m(A) £ m(B) , то будем говорить, что мощность А не больше мощности В . Заметим, что если А Ì В , то m(A) £ m(B) . Можно показать, что отношение m₁£ m₂ является отношением частичного и даже линейного порядка на множестве кардинальных чисел. Действительно, аксиома транзитивности выполняется за счёт того, что композиция двух инъекций есть также инъекция. Аксиома рефлексивности также выполняется, так как тождественное отображение из А в А : j(x) = x " xÎ A является биекцией, а следовательно и инъекцией из А в А . Далее, можно показать, что каковы бы ни были множества А и В , всегда существует инъекция из А в В или инъекция из В в А , т. е. выполняется аксиома 4) линейного порядка. Содержание же аксиомы антисимметричности заключено в следующей теореме :

Теорема Бернштейна. Если существует инъекция из А в В и существует инъекция из В в А , то существует и биекция между А и В .

Доказательство теоремы проведём на модели, по картинке, с “раскраской” всех элементов множеств А и В на три цвета.

Задача 4. Проведите общее (абстрактное) доказательство теоремы Бернштейна

(см., например, Дж. Л. Келли “Общая топология”, стр. 48-49).

Задача 5. Покажите, что множество бесконечно (содержит бесконечно много

элементов) тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой

своей части, отличной от самого множества).

Будем говорить, что мощность множества А строго меньше мощности множества В и писать m₁< m₂ , если m₁£ m₂, но m₁¹ m₂, т. е. если существует инъекция из А в В , но не существует инъекции из В в А .

Множества, равномощные множеству натуральных чисел, т. е. принадлежащие классу a = m(N) , будем называть счётными множествами.

Теорема. Множество Z целых чисел и множество Q рациональных чисел являются счётными, а множество R вещественных чисел не является счётным.

Всякое бесконечное множество А содержит счётное подмножество, следовательно оно «не менее, чем счётно» , т. е. a £ m(A) или m(A) ³ a .

Введём обозначение A° для множества всех частей или всех подмножеств данного множества А : A° = {B , B Ì A}

Теорема Кантора. Мощность множества всех подмножеств любого бесконечного множества А строго больше мощности самого множества А . Другими словами:

Если А – бесконечно, то m(A°) > m(A)

Cхема доказательства:

1) так как j(x) = {x} – инъекция из множества А во множество всех его частей A° , то m(A°) ³ m(A) ,

2) покажем, что не существует биекции между множеством А и множеством A° всех его частей. Доказательство проведём от противного. Пусть такая биекция f существует. Построим множество A’ = { x Î A таких, что x Ï f(x) } и простроим далее элемент x’ = f^-1(A’) . Этот элемент x’ либо принадлежит множеству A’ , либо не принадлежит ему. Но и то и другое невозможно (приводит к противоречию).

Примем далее за аксиому, что для любого бесконечного множества А не существует множества по мощности промежуточного между мощностью множества А и мощностью множества всех частей A° множества А .

Тогда на множестве кардинальных чисел можно ввести следующие операции: если A₁ ¹ Æ , A₂ ¹ Æ , m(A₁) ³ a или m(A₁) ³ a , m(A₁) = m₁ , m(A₂) = m₂ , то положим про определению

m₁ + m₂ = m(A₁ È A₂) , m₁ × m₂ = m(A₁ ´ A₂) , Мощность или кардинальное число множества - student2.ru

Можно показать, что введённые таким образом операции удовлетворяют свойствам m₂ + m₁ = m₁ + m₂ , m₂ · m₁ = m₁ · m₂, (m₂ + m₁) · m₃ = m₁· m₃ + m₂· m₃, m^k⁺^l = m^k + m^l и так далее. Но если хотя бы одно из множеств А₁ или А₂бесконечно, то всегда имеет место: