Замечательных пределов

1. Понятие неопределенности. В практике отыскания пределов наиболее часто применяется теорема 2 об арифметических действиях над пределами (см. § 1). Однако ее непосредственное применение бывает невозможно в особых ситуациях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении ее условий. Например, если , то нельзя сказать ничего определенного о пределе , не зная конкретного вида функции и . В этом случае говорят о наличии неопределенного вида . Неопределенность возникает и при отыскании предела , если , ( и могут быть бесконечно большими определенного знака или нет). Ее обозначают символом . Еще один пример: ищется , причем и – бесконечно большие противоположных знаков – здесь неопределенность . При вычислении предела создается неопределенность , если , . Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности , относящиеся к пределу вида .

Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования тех или иных теорем о пределах. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функций на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.), заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших (см. § 3), а с другой стороны, использованием так называемых замечательных пределов.

I. .

II. ( — иррациональное число. Оно является основанием системы логарифмов, называемых натуральными. Вместо принято писать ).

Из предела II выводятся следующие пределы, широко применяемые при раскрытии неопределенностей:

III. .

IV. (в частности, ).

V. .

Замечание. Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при этом необходимости ее воспроизведения. Так, для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида равен 1, если . Например, каждый из пределов , , есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов , , .

Для предела характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если , то и . Такова структура каждого из пределов , , , и потому все они равны , но структура пределов , , отлична от срукткры замечательного предела.

Подобные рассуждения справедливы и для пределов III–V.

Заметим, что если заданный предел не обладает структурой ни одного из пределов I–V, это не исключает возможности использования их для его отыскания.

2. Неопределенность 0/0. В простейших случаях такая неопределенность устраняется путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя, создающего неопределенность, и сокращения на него, после чего можно применять теорему о пределе частного. Этот прием основан на теореме: если в окрестности точки для всех и существует один из пределов или , то существует и другой, и они равны. Например, функции и равны при . Поскольку

Способ выделения общего множителя, да и сам его вид зависят от структуры числителя и знаменателя. Иногда вид выделяемого множителя зависит от способа его выделения (см. ниже пример 5). Для раскрытия неопределенности 0/0 применяются и другие элементарные приемы, а также пределы I, III–V, используются эквивалентные бесконечно малые.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при . По теореме Безу каждый из них должен делиться на , т.е. каждый из них может быть представлен в виде произведения на некоторый многочлен.

Таким образом, нахождение предела сводится прежде всего к выделению в числителе и знаменателе множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность 0/0. Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например делением «уголком»*.

[ДЕЛЕНИЕ СТОЛБИКОМ]

Теперь искомый предел можно представить в виде

.

Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим ответ: .

Замечание. Веденный пример решения всегда приводит к цели, когда ищется , где и — многочлены степеней m и n относительно x. Можно применить и непосредственное разложение многочленов на множители путем группировки слагаемых с выделением множителя , если такая группировка очевидна. В приведенном примере такое разложение легко получить для числителя:

1. Раскрыть неопределенность 0/0:

1) ;   3)   5) ;   7) (m и n – натуральные числа);   9)   11) ; 13) ;   15)   17) ;   19) ( );   21)   23)   25)   27)   29) ;   31) ;   33) (n – натуральное число);   35)   37)   39) ;   41)   43)   45)   47)

2) ;   4) ;   6) ;   8) (n – натуральное число);   10) ;   12) ; 14) ;   16)   18) ;   20) ;   22)   24)   26)   28)   30) ;   32) ;   34)   36)   38)   40)   42)   44)   46)   48)

3. Неопределенность ∞/∞. Эта неопределенность раскрывается теми же методами, что и неопределенность 0/0, а иногда просто сводится к последней элементарными преобразованиями.

Пример 3. Вычислить .

Решение. При достаточно больших значениях величина числителя определяется членом , а роль остальных слагаемых тем незначительней, чем больше . В знаменателе при росте доминирующее значение приобретает слагаемое . Поэтому именно присутствие членов, содержащих , является причиной возникновения неопределенности ∞/∞. Если в числителе и знаменателе вынести множитель за скобки и сократить на него, то неопределенность исчезнет:

(Слагаемые есть бесконечно малые при ).

Замечание. Проведенные преобразования фактически сводятся к делению числителя и знаменателя на старшую степень x. Часто этого бывает достаточно для раскрытия неопределенности ∞/∞. (В сущности, к этому же премк можно отнести замену переменной . Тогда и

Пример 4. Вычислить .

Решение. Воспользуемся замечанием к примеру 15. Заметив, что старшая степень в данном случае равна 3, разделим почленно ислитель и знаменатель на :

(Смена знака перед двумя радикалами в переходе (1) объясняется тем, что при и аналогично

Пример 5. Вычислить .

Решение. В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Следовательно, и

Пример 6. Вычислить .

Решение. Множителем, создающим неопределенность, в данном примере является , что видно из равенств

Заменив числитель и знаменатель правыми частями этих равенств и поделив их затем на , добьемся исчезновения неопределенности:

2. Раскрыть неопределенность ∞/∞:

49)

1)

2)

3)

Вывести простое правило вычисления предела , где и – многочлены степеней n и m.

50) ;   52)   54) ;   56) ;   58)   60) ;   62) ;   64)   66) ;   68) ;   70)

51) ;   53) ;   55) ;   57) ;   59) ;   61) ;   63) ;   65)   67) ;   69) ;   71)

4. Неопределенность . Неопределенности такого вида элементарными преобразованиями, использованием замечательных пределов или заменой переменной сводятся к одной из неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 7. Вычислить .

Решение.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Заметив, что при , выделим замечательны предел I:

После выделения замечательного предела I делением и умножением на (переходы (1) – (3)) неопределенность свелась к неопределенности , ликвидация которой произведена делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной (переход (4)).

Вычислить следующие пределы:

72) ;   74)   76) ;   78) ;   80)   82) ;   84) ;   86)   88) ;

73) ;   75) ;   77) ;   79) ;     81) ;   83) ;   85) ;   87)

5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, с помощью элементарных преобразований.

Пример 9. Вычислить .

Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель . Действительно, учитывая, что , находим последовательно

∞/∞, с помощью элементарных преобразований.

Пример 10. Вычислить .

Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности :

89) ;   91)

90) ;   92)

5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, с помощью элементарных преобразований.

Пример 11. Вычислить .

Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель . Действительно, учитывая, что , находим последовательно

∞/∞, с помощью элементарных преобразований.

Пример 12. Вычислить .

Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности :

Вычислить следующие пределы:

93) ;	94) ;
95) ;	96) ;
97) ;	98) ;
99) ;
100) ;
101) ;
102)
103)
104) ;	105) ;
106) ;
107) ;	108) ;
109) ;	110) ;
111) ;	112) ;
113) ;	114) ;
115) ;	116) ;
117) ;	118) ;
119) ;	120) ;

6. Неопределенность . Условия, при которых возникают эти неопределенности, связанные с пределом , где и — функции от x, можно пояснить таблицей:

Из тождества и непрерывности показательной функции (см. главу III) следует, что . Таким образом, раскрытие неопределенностей сводится к отысканию предела функции , который связан с неопределенностью , как это видно из таблицы. Если S найдено, то . Заметим, что . Следовательно, для раскрытия любой из неопределенностей рассматриваемых типов достаточно найти предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, и по его значению S восстановить искомый предел . Неопределенность может быть раскрыта помимо изложенного способа, общего для этих неопределенностей, способом непосредственной «подгонки» к замечательному пределу II , например, по такой схеме:

Выражение, построенное внутри квадратных скобок, имеет вид , где — бесконечно малая при . Нахождение предела

требует раскрытия неопределенности .

Пример 13. Вычислить .

Решение. Поскольку при , то имеем неопределенность вида . Выделим замечательный предел II:

Пример 14. Вычислить .

Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II:

Пример 15. Вычислить .

Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II:

Пример 16. Вычислить .

Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II:

Следовательно,

Вычислить:

121)	122)
123)	124)
125)	126)
127)	128)
129)	130)
131)	132)
133) ;	134) ;
135)	136)
137)	138)
139)	140)
141)	142)
143)	144)
145)