Анализ чувствительности показателей

Этот метод сводится к исследованию зависимости некоторого результирующего показателя от вариации значений показателей, участвующих в его определении. Другими словами, этот метод позволяет получить ответы на вопросы вида: что будет с результирующей величиной, если изменится значение некоторой исходной величины? Отсюда его второе название – анализ «что будет, если». Как правило проведение подобного анализа предполагает выполнение следующих шагов.

Задается взаимосвязь между исходными и результирующим показателями в виде математического уравнения или неравенств.

Определяются наиболее вероятные значения для исходных показателей и возможные диапазоны их изменений.

Путем изменения значений исходных показателей исследуется их влияние на конечный результат.

Проект с меньшей чувствительностью NPV считается менее рисковым. Обычная процедура анализа чувствительности предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как значения остальных считаются постоянными величинами. Рассмотрим применение этого метода на примере.

Пример. Фирма рассматривает инвестиционный проект, связанный с выпуском продукта «А». Полученные в результате опроса экспертов данные по проекту приведены в таблице.

Показатели	Диапазон изменений	Наиболее вероятное значение
Объем выпуска Q	150-300
Цена за штуку P	35-55
Переменные затраты V	25-40
Постоянные затраты F
Амортизация A
Налог на прибыль T	60%	60%
Норма дисконта r	8%-15%	10%
Срок проекта n	5-7
Остаточная стоимость
Начальные инвестиции

Первый этап анализа согласно сформулированному выше алгоритму состоит в определении зависимости результирующего показателя от исходных. В данном случае с учетом приведенных в таблице обозначений подобная зависимость может быть задана соотношением:

Диапазоны возможных изменений исходных показателей определены ранее, поэтому можно приступить к анализу.

Выберем параметр, влияние которого будет подвергнуто анализу. Предположим, что таким параметром является цена. Диапазон ее изменений составляет интервал 35-55. Придавая варьируемому параметру значения (P) 25, 30, 35, 40, 45 по формуле получим соответствующие значения для NPV: -3922,84; -2406,53; -890,21; 626,10; 2142,42. Отметим, что за остальные параметры в формуле мы берем наиболее вероятные значения.

Теперь берем в качестве варьируемого параметра объем выпуска (Q). Проведем анализ чувствительности NPV к изменению объемов выпуска. Придавая Q последовательно значения: 60, 100, 140, 180, 220, 260, 300 мы из формулы получим соответствующие значения для NPV: -586,95; 626,10; 1839,16; 3052,21; 4265,26; 5478,31; 6691,36.

Из результатов анализа по двум параметрам следует вывод, что NPV проекта более чувствительна к изменениям цены, чем объемов выпуска. При неизменных значениях остальных показателей падение цены менее чем на 20% приведет к отрицательной величине чистой современной стоимости проекта, тогда как снижение объемов выпуска с 300 до 100 единиц при прочих равных условиях все еще обеспечивает положительную величину NPV.

Отметим преимущества ии недостатки этого метода. Этот метод является хорошей иллюстрацией влияния отдельных исходных показателей на результат. Он также показывает направления дальнейших исследований. Если установлена сильная чувствительность результирующего показателя к изменениям некоторого исходного, последнему следует уделить особое внимание. Вместе с тем данный метод обладает следующими недостатками: Жесткая детерминированность используемых моделей для связи ключевых переменных не позволяет получить вероятностные оценки возможных отклонений исходных и результирующих показателей; предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как остальные считаются постоянными величинами.

Упражнение. Провести анализ чувствительности NPV к изменениям переменных затрат и нормы дисконта.

Метод сценариев

В отличие от предыдущих метод сценариев позволяет совместить исследование чувствительности результирующего показателя с анализом вероятностных оценок его отклонений. В общем случае процедура использования данного метода в процессе анализа инвестиционных рисков включает выполнение следующих шагов.

Определяют несколько вариантов изменений ключевых исходных показателей (например, пессимистический, наиболее вероятный и оптимистический).

Каждому варианту изменений приписывают его вероятностную оценку.

Для каждого варианта рассчитывают вероятное значение показателя NPV (либо IRR, PI), а также оценки его отклонений от среднего значения.

Проводится анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Проект с наименьшими стандартным отклонением ( ) и коэффициентом вариации (CV) считается менее рисковым.

Пример. Предположим, что по результатам анализа проекта из предыдущего примера были составлены следующие сценарии его развития и определены возможные вероятности их осуществления. Проведем анализ собственного риска проекта.

Показатели	Сценарий
	Наихудший =0,25	Наилучший =0,25	Вероятный =0,5
Объем выпуска Q
Цена за штуку P
Переменные затраты V
Норма дисконта r	15%	8%	10%
Срок проекта n

Расчет NPV дает: = –1259,15 для наихудшего сценария, = 3658,73 для вероятного (ожидаемого) сценария и = 11950,89 для наилучшего сценария. (расчеты проведите самостоятельно).

Эти результаты используются для дальнейшего анализа-оценки вероятностного распределения значений показателя NPV. Сначала определим среднее ожидаемое значение NPV по формуле:

.

Расчет показывает, что E(NPV) = 4502,30. Среднее ожидаемое значение больше величины, которую мы надеялись получить в наиболее вероятном случае.

Теперь вычислим стандартное отклонение по формуле:

.

Результаты вычислений дают = 4673,62. Исходя из предположения о нормальном распределении случайной величины, с вероятностью приблизительно 0,7 можно утверждать, что значение NPV будет находиться в диапазоне 4502,30 4673,62.

Определим теперь (т.е. вероятность того, что NPV будет иметь нулевое или отрицательное значение). Используя таблицу 6 приложения (значений стандартного нормального распределения) находим = 0,17 (NPV имеет нормальное распределение с параметрами a = E(NPV) и , т.е . Чтобы воспользоваться таблицей 6 отметим, что , а также свойство функции ) Таким образом, существует один шанс из шести возникновения убытков. Определим теперь вероятность того, что величина NPV будет меньше ожидаемой на 50%. Находим =0,32. Аналогично можно вычислить и т.д. Можно вычислить также коэффициент вариации CV=1,04 (эти вычисления проведите самостоятельно).

Полученные результаты свидетельствуют о наличии риска для этого проекта. Несмотря на то, что среднее значение NPV (4502,30) превышает прогноз экспертов (3658,73), ее величина меньше стандартного отклонения. Значение коэффициента вариации (1,04) больше 1, следовательно, риск данного проекта несколько выше среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. В случае, если значения стандартного отклонения и коэффициента вариации по этому проекту меньше, чем у остальных альтернатив, при прочих равных обстоятельствах ему следует отдать предпочтение. В целом этот метод позволяет получить достаточно наглядную картину результатов для различных вариантов реализации проектов. Он обеспечивает менеджера информацией как о чувствительности, так и о возможных отклонениях выбранного показателя эффективности. Применение программных средств (типа EXCEL) позволяет значительно повысить эффективность подобного анализа путем практически неограниченного увеличения числа сценариев, введения дополнительных (до 32) ключевых переменных, построения графиков распределения вероятностей и т.д.

Вместе с тем использование данного метода направлено на исследование поведения только результирующих показателей (NPV, IRR, PI). Метод сценариев не обеспечивает пользователя информацией о возможных отклонениях потоков платежей и других ключевых показателей, определяющих в конечном итоге ход реализации проекта.

Упражнение. Определить вероятность того, что а) величина NPV будет меньше 70% от ожидаемой средней; б) значение NPV будет больше ожидаемой средней на величину двух стандартных отклонений.

Анализ вероятностных распределений потоков платежей.

Зная распределение вероятностей для каждого элемента потока платежей, можно определить ожидаемую величину чистых поступлений наличности в соответствующем периоде, рассчитать по ним чистую современную стоимость проекта NPV и оценить ее возможные отклонения. Проект с наименьшей вариацией доходов считается менее рисковым. Однако, количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между отдельными элементами потока платежей. Рассмотрим два противоположных случая:

-элементы потока платежей независимы друг от друга во времени (т.е. корреляция между ними отсутствует);

-значение потока платежей в периоде t сильно зависит от значения потока платежей в предыдущем периоде t-1 (т.е. между элементами потока платежей существует тесная корреляция).

Сначала рассмотрим первый случай – независимые потоки платежей.

В этом случае ожидаемая величина NPV и ее стандартное отклонение могут быть определены из следующих соотношений:

где - ожидаемое значение потока платежей в периоде t; - i –й вариант значения потока платежей в периоде t ; m – количество предполагаемых значений потока платежей в периоде t ; - вероятность i-го значения потока платежей в периоде t ; - стандартное отклонение потока платежей от ожидаемого значения в периоде t.

Пример. Проект требует первоначальных вложений в размере 10000 ден. ед. Предположим, что норма дисконта составляет 6%. Планируемый поток платежей по проекту характеризуется распределением вероятностей, приведенным в таблице.

Год 1	Год 2	Год 3
	0,3		0,2		0,3
	0,4		0,6		0,4
	0,3		0,2		0,3

Определим чистую современную стоимость NPV и риск проекта. Расчеты дают: NPV = 2475,06 и . Зная их можно провести анализ вероятностного распределения будущего дохода, исходя из предположения о его нормальном распределении. Определим =0,14, следовательно вероятность получения положительного значения NPV будет равна: 1-0,14 = 0,86. Аналогично могут быть определены вероятности получения других значений NPV.

Теперь рассмотрим второй случай – сильно зависимые потоки платежей.

В этом случае распределения элементов потока платежей будут одинаковы. Например, если фактическое значение поступлений от проекта в первом периоде отклоняется от ожидаемого на n стандартных отклонений, все остальные элементы потока платежей в последующих периодах будут также отклоняться от ожидаемого значения на эту же величину. Другими словами, между элементами потока платежей существует линейная зависимость. Такие потоки платежей называют идеально коррелированными. В этом случае формулы расчетов следующие:

,

Предположим, что в рассмотренном выше примере потоки платежей идеально коррелированные. Проведенные расчеты по указанным формулам дают: NPV = 2475,06; =3888. Из таблицы значений стандартного нормального распределения находим =0,26.

Рассмотренные случаи имеют важное теоретическое и практическое значение. Однако, в реальной практике преобладает золотая середина, и между элементами потоков платежей обычно существует умеренная корреляция. В этом случае сложность вычислений существенно возрастает. Несмотря на то, что их реализация средствами EXCEL не представляет особого труда, методика проведения анализа рисков при существовании умеренной корреляции между элементами потока платежей требует предварительного рассмотрения понятия условной вероятности. В целом, применение этого метода позволяет получить полезную информацию об ожидаемых значениях NPV и чистых поступлений, а также провести анализ их вероятностных распределений. Вместе с тем использование этого метода предполагает, что вероятности для всех вариантов денежных поступлений известны либо могут быть точно определены. В действительности в некоторых случаях распределение вероятностей может быть задано с высокой степенью достоверности на основе анализа прошлого опыта при наличии больших объемов фактических данных. Однако чаще всего такие данные недоступны, поэтому распределения задаются исходя из предположения экспертов и несут в себе большую долю субъективизма.

Деревья решений

Деревья решений обычно используются для анализа рисков проектов, имеющих обозримое или разумное число вариантов развития. Они особо полезны в ситуациях, когда решения, принимаемые в момент времени t, сильно зависят от решений, принятых ранее, и свою очередь определяют сценарии дальнейшего развития событий. Дерево решений имеет вид нагруженного графа, вершины его представляют ключевые состояния, в которых возникает необходимость выбора, а дуги (ветви дерева) – различные события (решения, последствия, операции), которые могут иметь место в ситуации, определяемой вершиной. Каждой дуге дерева могут быть приписаны числовые характеристики, например, величина платежа и вероятность его осуществления. В общем случае использование этого метода предполагает выполнение следующих шагов.

1. Для каждого момента времени t определяют проблему и все возможные варианты дальнейших событий;

2. Откладывают на дереве соответствующую проблеме вершину и исходящие из нее дуги;

3. Каждой исходящей дуге приписывают ее денежную и вероятностную оценку;

4. Исходя из значений всех вершин и дуг рассчитывают вероятное значение показателя NPV (либо IRR, PI);

5. Проводят анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Пример. Рассматривается двухлетний контракт, требующий первоначальных вложений в объеме 200000 ден.ед. Согласно экспертным оценкам приток средств от реализации проекта в первом году с вероятностью 0,3 составит 80000 ден.ед.; с вероятностью 0,4 – 100000 ден.ед. и с вероятностью 0,3 – 150000 ден.ед. Притоки средств во втором периоде зависят от результатов, полученных в первом периоде (см. таблицу). Предположим, что норма дисконта равна 12%. Построить дерево решений для оценки риска.

	0,2		0,3		0,1
	0,6		0,4		0,8
	0,2		0,3		0,1

Представим дерево решений:

А соответствующие расчеты NPV приведены в таблице:

Путь
			-96680	0,06	-5800,80
			-48860	0,18	-8794,80
			-9010	0,06	-540,60
				0,12	220,80
				0,16	2844,80
				0,12	3090,00
				0,03	1844,10
				0,24	22404,00
				0,08	3756,90
E(NPV)=					19024,40

Значения были рассчитаны исходя из дисконтных множителей, равных 0,893 для первого и 0,797 для второго периода соответственно, т.е.

Значения представляет собой совместные вероятности двух событий, т.е. вероятности того, что произойдет и событие 1 и событие 2:

Поскольку суммарная ожидаемая NPV положительна, при отсутствии других альтернатив проект можно принять. В общем случае предпочтение следует отдавать проекту с большей ожидаемой NPV.

Быстрый рост сложности вычислений, а также необходимость применения специальных программных средств для реализации подобных моделей являются основными причинами невысокой популярности данного метода оценки рисков.