Экстремум функции двух переменных. Необходимый признак.Если функция двух переменных z=f(x,y) имеет экстремум в точке
Необходимый признак.Если функция двух переменных z=f(x,y) имеет экстремум в точке, то каждая ее частная производная первого порядка в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточный признак.Чтобы установить имеет ли функция z=f(x,y) экстремум в критической точке, нужно найти вторые производные этой функции по x, по y и смешанную производную
Затем проверить знак выражения
Если A>0 и 
, то функция в точке имеет минимум. Если A>0 и 
, то функция в точке имеет максимум. Если A<0, то экстремума нет.
Пример 6.2.
Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.
Решение.
Находим частные производные:
= - 2y2 + 2x; 
= 4y3 - 4xy +2 +2y.
Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
.
Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, «подозрительная на экстремум».
Находим вторые частные производные в найденной точке:
.
Проверим знак выражения
.
Так как A>0 и , то функция в точке Mo(1,-1) имеет минимум.
Вычислим z min = (-1)4 - 2×1×(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.
Условный экстремум функции двух переменных
Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0.
Функция z=f(x,y) называется целевой функцией.
Первый метод решения – метод подстановки, применяется, когда из уравнения g(x,y)=0 можно выразить переменную y=φ(x) и подставить ее в целевую функцию. Таким образом, решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной.
Второй метод – метод множителей Лагранжа, используется, когда нельзя явно выразить y из условия g(x,y)=0. В этом случае, для решения вводится новая функция Лагранжа.
,
где λ – неопределенный множитель, новая переменная.
Затем находится экстремум этой функции от трех переменных.
Решая эту систему, получают значения критической точки условного экстремума функции z=f(x,y).
После этого определяется максимум или минимум функции z=f(x,y) в этой точке по смыслу задачи.
Пример 6.3.
Найти экстремумы функции 
при условии 
.
Решение.
Выразим переменную у из условия и подставим в функцию:
; 
.
Получим функцию одной переменной. Найдем ее экстремум.
; 
, 
.
Так как вторая производная 
, то найденная точка - точка минимума.
Следовательно, функция имеет условный минимум в точке 
, который равен 
.
Пример 6.4. На 2 товара - Кириешки ( 
) и чипсы ( 
) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полезности 
.
Решение.
Необходимо найти максимум функции при условии 
. Воспользуемся функцией Лагранжа.
.
Найдем частные производные от функции Лагранжа:
Решаем полученную систему.
.
Таким образом, оптимальный выбор составит 4 ед. Кириешки и 8 ед. чипсов, при этом оптимальное значение функции полезности составит 49152.
Варианты контрольной работы
Вариант 0
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
a)  ; | б)  ; | в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара - кириешки ( 
руб.) и чипсы ( 
руб.) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности 
.
Вариант 1
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  ; |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара - колбасу ( 
руб.) и сыр ( 
руб.) Сергей тратит в месяц 300 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 2
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. Средняя семья тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Цена рыбы 
- 5 долл., цена батона хлеба 
- 1 долл. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности имеет вид: 
.
Вариант 3
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара - компакт-диски ( 
руб.) и аудиокассеты ( 
руб.) Влад тратит в год 1000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности 
.
Вариант 4
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. За месяц студент расходует на апельсины и бананы 100 рублей. Цена одного апельсина 5 р, а цена одного банана 2 р. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u=10ху.
Вариант 5
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; | в)  ; |
г)  |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара – видеокассеты и аудиокассеты Олег тратит еженедельно 50 руб. Цена видеокассеты 15 руб., цена аудиокассеты
5 руб. Определить набор кассет, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u = 2xy.
Вариант 6
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б) ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На два товара – молоко и хлеб Иван тратит 200 ден. ед. в месяц. Цена молока – 20 ден. ед., хлеба – 15. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности 
.
Вариант 7
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. Ольга тратит еженедельно 200 руб. на бананы и пепси-колу. Цена 1 кг бананов –30 руб., 1 л пепси – 20 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности 
.
Вариант 8
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
г)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара - мясо ( 
руб.) и сыр ( руб.) Оля тратит в месяц 3000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности 
.
Вариант 9
1. Вычислить предел функции
а)  ; | б)  ; | в)  . |
2. Вычислить производную функции
а)  ; | б)  ; |
в)  ; | г)  . |
3. Исследовать функцию и построить график 
.
4. На 2 товара - яблоки ( 
руб.) и сливы ( руб.) Оксана тратит в месяц 500 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .