Графики основных элементарных функций
См. Кремер, стр. 129-131.
Представим ряд свойств основных элементарных функций в виде таблицы 1.
Таблица 1 – Свойства основных элементарных функций
| Функция | Область определения | Область значений | Четность, нечетность | Монотонность | Период |
| I. Степенная функция | |||||
| 1. y = xn, n Î N | ]-¥; + ¥[ | для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[ | для нечетных n нечетная; для четных n четная | для нечетных n возрастает на ]-¥; +¥[ (на всей области определения); для четных n убывает на ]-¥; 0], возрастает на [0; +¥[ | - |
| 2. y = x-n, n Î N | ]-¥; 0[È È]0; +¥[ | для нечетных n ]-¥; 0[È È]0; +¥[; для четных n ]0; +¥[ | для нечетных n убывает на ]-¥; 0[, возрастает на ]0; +¥[; для четных n возрастает на ]-¥; 0[, убывает на ]0; +¥[ |
| 3. , n Î N, n > 1 | для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[ | для нечетных n ]-¥; +¥[; для четных n [0; +¥[ | для нечетных n нечетная; для четных n общего вида | возрастает для нечетных n; для четных n на [0; +¥[ на всей области определения | |
| II. Показательная (экспоненциальная) функция | |||||
| 4. y = ax, a > 0, a ¹ 1 | ]-¥; + ¥[ | ]0; + ¥[ | общего вида | для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]-¥; +¥[ (на всей области определения) | - |
| III. Логарифмическая функция | |||||
| 5. y = logax, a > 0, a ¹ 1 | ]0; + ¥[ | ]-¥; + ¥[ | общего вида | для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]0; +¥[ (на всей области определения) | - |
| IV. Тригонометрические функции | |||||
| 6. y = cos x | ]-¥; + ¥[ | [-1; + 1] | четная | возрастает на [-p + 2pn; 2pn], убывает на [2pn; p + 2pn], n Î Z | 2p |
| 7. y = sin x | нечетная | возрастает на [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], убывает на [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n Î Z | |||
| 8. y = tg x | ]-p/2 + pn; p/2 + pn[, n Î Z | ]-¥; + ¥[ | возрастает на всей области определения | p | |
| 9. y = ctg x | ]pn; p + pn[, n Î Z | убывает на всей области определения | |||
| V. Обратные тригонометрические функции | |||||
| 10. y = = arcsin x | [-1; 1] | [-p/2; p/2] | нечетная | возрастает на всей области определения | - |
| 11. y = =arccos x | [0; p] | общего вида | убывает на всей области определения |
| 12. y = = arctg x | ]-¥; + ¥[ | ]-p/2; p/2[ | нечетная | возрастает на всей области определения | |
| 13. y = = arcctg x | ]0; p[ | общего вида | убывает на всей области определения |
Элементарные функции – это функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа композиций функций.
Например, функция y = х2 + lg sin х является элементарной, так как она получена путем сложения функций и образования сложной функции. Пример неэлементарной функции у= |х|.
[1] Вещественные, или действительные числа — математические объекты, введенные для представления и сравнения значений физических величин (такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой). Включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть получено путем деления целого числа на натуральное (например, Ö2).
[2] То значение, которое не включают в интервал, часто обозначают по-другому, а именно, берут в круглую скобку, т.е. интервал записывают в виде (a; b). Недостатком такого обозначения является возможность неправильно понять запись (a; b), как координаты точки в двумерном пространстве. Поэтому здесь и далее концы интервалов и полуинтервалов будем брать в квадратные скобки, но те значения, которые в них не включаются, будем брать в скобки, повернутые наружу.
[3] Под термином "период" подразумевается наименьший положительный период функции, равный 2p; любой период функции
у = sin х равен 2pn, где n Î Z.