Тема 1. Производные функций. Дифференциалы функций.
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Дисциплина: Математика
Специальность: 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», А-4107
№ п/п | Содержание самостоятельной работы |
1. | Производные функций. Дифференциалы функций |
2. | Дифференцирование функций |
3. | Нахождение дифференциала функции |
4. | Интегрирование функции |
5. | Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бернулли |
6. | Решение однородных дифференциальных уравнений |
7. | Нахождение частных производных и полного дифференциала функций |
8. | Решение уравнений в полных дифференциалах |
9. | Решение дифференциальных уравнений высших порядков |
10. | Решение дифференциальных линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами |
11. | Решение задач с помощью кругов Эйлера |
12. | Погрешности приближённых значений чисел |
13. | Действия над приближёнными значениями чисел |
14. | Решение задач на вычисление вероятностей случайных событий |
15. | Решение задач на вычисление вероятностей при повторных испытаниях |
16. | Выборка и её представление |
Литература
Основная
1. Миронова Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012. – 212 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2013. – 479 с.
3. Гончаров Г.А. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. – 128 с.
4. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений/Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 2013. – 495 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления, Т.1,2 – М.: Наука, 2012. -416 с.
Дополнительная
1. Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2013. – 352 с.
2. Спирин П.А. Дискретная математика/ М.С. Спирина. – М.: Академия, 2012. – 368 с.
3. Матвеев П.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие, 7-е изд., доп. СПб.: "Лань", 2012. 432 с.
Тема 1. Производные функций. Дифференциалы функций.
Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:
. (1.1)
Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемойв этом промежутке.
Для производной функции употребляются следующие обозначения: , , , .
Нахождение производной называется дифференцированием.
Правила дифференцирования:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Таблица основных производных:
Таблица 1
С-постоянная | ||||
- | ||||
- |
Производной второго порядка функции называется производная от её производной, т.е.
. (1.2)
Производную от второй производной называют производной третьего порядка.
В общем случае производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: .
Пусть и , тогда – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу:
. (1.3)
1.Найдём производную функции , используя формулу (1.3). Данная функция не является элементарной. Полагая , получим . Находим .
Производная в точке.Для вычисления производной функции в точке нужно в выражение производной вместо переменной подставить значение . В итоге должно получиться число.
Производная высшего порядка. Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.
Можно также записать: