Елинейная парная регрессия

ТАЛЫЗИН В.А.

РУКОВОДСТВО

для выполнения контрольной работы

по эконометрике

Учебное пособие

г.

Тема 1. Парная регрессия

инейная парная регрессия

Расчетные формулы

1.1 Оценки коэффициентов модели:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru ,

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2 Выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.3 Выборочный коэффициент парной корреляции:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.4 Средний коэффициент эластичности:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.5 Коэффициент детерминации:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.6 Дисперсионное отношение Фишера ( елинейная парная регрессия - student2.ru -критерий):

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.7 Остаточная сумма квадратов отклонений:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.8 Средняя относительная ошибка аппроксимации:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.9 Стандартная ошибка уравнения регрессии:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.10 Стандартные ошибки параметров регрессии:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.11 елинейная парная регрессия - student2.ru статистики Стьюдента параметров уравнения:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.12 Предельные ошибки коэффициентов уравнения, которые с вероятностью (1- елинейная парная регрессия - student2.ru ), где елинейная парная регрессия - student2.ru уровень значимости, не будут превышены:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.13 Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.14 Стандартная ошибка индивидуального прогнозного значения елинейная парная регрессия - student2.ru результирующего признака:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.15 Доверительный интервал для прогнозного значения:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

ешение типовой задачи.

В таблице 1.1 приводятся данные о заработной плате ( елинейная парная регрессия - student2.ru , долл.) и возрасте ( елинейная парная регрессия - student2.ru , лет) по 20 рабочим.

Табл. 1.1

елинейная парная регрессия - student2.ru
елинейная парная регрессия - student2.ru
елинейная парная регрессия - student2.ru
елинейная парная регрессия - student2.ru

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи елинейная парная регрессия - student2.ru и елинейная парная регрессия - student2.ru .

2. Построить линейную регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, вычислить средний коэффициент эластичности, определить коэффициент детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации и оценить точность модели.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и модели в целом, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.

4. Выполнить прогноз заработной платы елинейная парная регрессия - student2.ru для 33-летнего рабочего, оценить точность прогноза, рассчитав стандартную ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение выполним в среде MS Excel.

1.Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru
                 
елинейная парная регрессия - student2.ru                  
                 
Сумма                  
Среднее                  

Введем исходные данные елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru в таблицу по столбцам.

Построим поле корреляции при помощи Мастера диаграмм(тип – Точечная диаграмма) и выполним визуальный анализ типа зависимости.

елинейная парная регрессия - student2.ru

Поле корреляции

По виду поля корреляции можно сделать вывод о том, что форма связи переменных елинейная парная регрессия - student2.ru и елинейная парная регрессия - student2.ru может быть как линейной, так и нелинейной.

2.Рассчитаем колонки елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru расчетной таблицы. Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…)иСРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.1:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

В итоге линейная модель имеет вид:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Коэффициент регрессии елинейная парная регрессия - student2.ru показывает, что в среднем заработная плата растет на елинейная парная регрессия - student2.ru доллара при увеличении возраста рабочего на 1 год.

Найдем значения выборочных дисперсий и СКО по формулам 1.2:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Определим выборочный коэффициент корреляции по одной из формул 1.3: елинейная парная регрессия - student2.ru .

Коэффициент парной корреляции по шкале Чеддока является высоким, что свидетельствует о существенной зависимости з/п от возраста рабочего.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.4:

елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru .

Он показывает, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,799%.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле 1.5:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

елинейная парная регрессия - student2.ru также близок к единице и по нему следует, что з/п на 72% объясняется таким фактором, как возраст рабочего.

Вычислим предсказанные моделью значения з/п по формуле

елинейная парная регрессия - student2.ru

и тем самым заполним колонку елинейная парная регрессия - student2.ru расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки елинейная парная регрессия - student2.ru и их квадраты елинейная парная регрессия - student2.ru . В итоге в строке "Сумма" таблицы определится остаточная сумма квадратов елинейная парная регрессия - student2.ru .

Проверим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив елинейная парная регрессия - student2.ru по формуле 1.8. Для этого в первой строке колонки елинейная парная регрессия - student2.ru набираем с использованием функции ABS(…) формулу: =ABS( елинейная парная регрессия - student2.ru )*100. После протяжки по всему столбцу вычисляем среднее значение данного столбца:

елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru .

По елинейная парная регрессия - student2.ru видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10,2%, что говорит о допустимом качестве модели по этому критерию.

Далее построим график линейной функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмми убедимся, что МНК дал хорошие результаты аппроксимации.

елинейная парная регрессия - student2.ru

Поле корреляции с линейной регрессией

3.По формулам 1.9 и 1.10 найдем стандартные ошибки уравнения регрессии и его параметров:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru ,

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Рассчитаем елинейная парная регрессия - student2.ru статистики Стьюдента по формулам 1.11:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Обратим внимание на то, что елинейная парная регрессия - student2.ru , а елинейная парная регрессия - student2.ru .

Найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(…) табличное значение елинейная парная регрессия - student2.ru по уровню значимости елинейная парная регрессия - student2.ru и числу степеней свободы елинейная парная регрессия - student2.ru . Сравнение расчетных значений с табличным елинейная парная регрессия - student2.ru указывает на статистическую значимость параметров елинейная парная регрессия - student2.ru и елинейная парная регрессия - student2.ru . Параметр же елинейная парная регрессия - student2.ru не является значимым, поскольку елинейная парная регрессия - student2.ru .

Доверительные интервалы строим только для коэффициентов модели, точечные оценки которых являются статистически значимыми. В нашем случае – только для коэффициента регрессии елинейная парная регрессия - student2.ru :

елинейная парная регрессия - student2.ru ; елинейная парная регрессия - student2.ru ; елинейная парная регрессия - student2.ru ;

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Рассчитаем елинейная парная регрессия - student2.ru критерий Фишера по формуле 1.6:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Табличное значение елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости елинейная парная регрессия - student2.ru и числам свободы елинейная парная регрессия - student2.ru и елинейная парная регрессия - student2.ru . Поскольку елинейная парная регрессия - student2.ru , то можно сделать вывод об адекватности построенной модели.

4.Получим прогнозную заработную плату для 33-летнего рабочего по найденной линейной модели:

елинейная парная регрессия - student2.ru (долл.).

Вычислим стандартную ошибку прогнозного значения по формуле 1.14:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Находим 95% доверительный интервал для прогнозного значения з/п 33-летнего рабочего с использованием формулы 1.15:

елинейная парная регрессия - student2.ru ,

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Таким образом, заработная плата 33-летнего рабочего с вероятностью 0,95 находится в пределах от 220,38 до 382,27 долларов.

елинейная парная регрессия

Расчетные формулы

Нелинейная регрессия, линейная по параметрам.

1.2.1 Линеаризация модели выполняется путем введения новых переменных, относительно которых модель будет линейной. Например, если модель имеет вид:

елинейная парная регрессия - student2.ru ,

то введение новой переменной елинейная парная регрессия - student2.ru позволяет получить линейную относительно этой переменной модель:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.2 МНК - оценки коэффициентов елинейная парная регрессия - student2.ru модели:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru ,

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

В итоге получается нелинейная парная регрессия елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.3 Выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение (СКО):

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.4 Остаточная сумма квадратов отклонений:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.4 Индекс корреляции:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.5 Индекс детерминации:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.6 Средняя относительная ошибка аппроксимации:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.7 Средний коэффициент эластичности:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.8 елинейная парная регрессия - student2.ru критерий Фишера:

елинейная парная регрессия - student2.ru ,

где елинейная парная регрессия - student2.ru число параметров модели.

Нелинейная регрессия, нелинейная по параметрам.

1.2.9 Для линеаризации модели её предварительно логарифмируют и вводят в рассмотрение новые переменные, относительно которых модель будет уже линейной. Рассмотрим, например, степенную модель

елинейная парная регрессия - student2.ru .

После логарифмирования она примет вид:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Введя новые переменные:

елинейная парная регрессия - student2.ru ,

получаем линейную модель:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.10 МНК - оценки коэффициентов елинейная парная регрессия - student2.ru этой модели:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru ,

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.11 Оценка коэффициента елинейная парная регрессия - student2.ru :

елинейная парная регрессия - student2.ru .

В результате получается степенная регрессия елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.12 Факторная сумма квадратов:

елинейная парная регрессия - student2.ru

1.2.12 Индекс корреляции:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

1.2.13 Индекс детерминации:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Средняя относительная ошибка аппроксимации, средний коэффициент эластичности и елинейная парная регрессия - student2.ru критерий Фишера вычисляются по формулам 1.2.6, 1.2.7, и 1.2.8 соответственно.

ешение типовой задачи.

Для данных, представленных в таблице 1.1 требуется:

1. Построить гиперболическую регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, вычислить индекс корреляции и детерминации, а также статистическую значимость уравнения регрессии на уровне елинейная парная регрессия - student2.ru .

2. Построить степенную регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, оценить её точность по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и значимость (на уровне елинейная парная регрессия - student2.ru ).

3. Сравнить модели парной регрессии (включая линейную) по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и выбрать наилучшую.

Решение выполним в среде MS Excel.

1.Оценим гиперболическую модель елинейная парная регрессия - student2.ru . Она линейна по параметрам елинейная парная регрессия - student2.ru .

Введем новую переменную елинейная парная регрессия - student2.ru . Линеаризованная модель примет вид: елинейная парная регрессия - student2.ru .

Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru
                   
елинейная парная регрессия - student2.ru                    
                   
Сумма                    
Среднее                    

Введем исходные данные елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…)иСРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.2.2:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

В итоге получена гиперболическая модель: елинейная парная регрессия - student2.ru .

Вычислим предсказанные моделью значения з/п по формуле

елинейная парная регрессия - student2.ru

и тем самым заполним колонку елинейная парная регрессия - student2.ru расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки елинейная парная регрессия - student2.ru и их квадраты елинейная парная регрессия - student2.ru . В итоге в строке "Сумма" колонки елинейная парная регрессия - student2.ru таблицы определится остаточная сумма квадратов елинейная парная регрессия - student2.ru .

Построим график функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмми убедимся, что МНК дал хорошие результаты аппроксимации.

елинейная парная регрессия - student2.ru

Найдем значения выборочной дисперсии и СКО для елинейная парная регрессия - student2.ru по формулам 1.2.3:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Найдем индекс корреляции по формуле 1.2.4:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Индекс корреляции близок к единице и это указывает на тесную гиперболическую связь между изучаемыми признаками.

Рассчитаем индекс детерминации по формуле 1.2.5:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Значение индекса детерминации елинейная парная регрессия - student2.ru близко к единице и по нему следует, что з/п по этой модели на 78% обусловлена таким фактором, как возраст рабочего.

Проверим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив елинейная парная регрессия - student2.ru по формуле 1.2.6. Для этого в первой строке колонки елинейная парная регрессия - student2.ru набираем с использованием функции ABS(…) формулу: =ABS( елинейная парная регрессия - student2.ru )*100. После протяжки по всему столбцу вычисляем среднее значение данного столбца:

елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru .

По елинейная парная регрессия - student2.ru видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,7%, что говорит о хорошем качестве модели по этому критерию.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.2.7:

Найдем производную

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Отсюда

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Он показывает, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,74%.

Рассчитаем елинейная парная регрессия - student2.ru критерий Фишера по формуле 1.2.8 (в нашем случае елинейная парная регрессия - student2.ru ):

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Табличное значение елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости елинейная парная регрессия - student2.ru и числам свободы елинейная парная регрессия - student2.ru и елинейная парная регрессия - student2.ru . Поскольку елинейная парная регрессия - student2.ru , то можно сделать вывод о хорошей аппроксимации статистических данных построенной моделью.

2.Построим степенную модель елинейная парная регрессия - student2.ru . Эта модель является нелинейной по параметру елинейная парная регрессия - student2.ru .

Выполним преобразования по формулам 1.2.9. Линеаризованная модель примет вид: елинейная парная регрессия - student2.ru . Здесь елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru ( елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru
                       
                       
елинейная парная регрессия - student2.ru                        
                       
Сумма                        
Среднее                        

Введем исходные данные елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…)иСРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.2.10:

елинейная парная регрессия - student2.ru , елинейная парная регрессия - student2.ru .

Найдем оценку коэффициента елинейная парная регрессия - student2.ru с использованием функции EXP(…):

елинейная парная регрессия - student2.ru .

В результате построена степенная модель елинейная парная регрессия - student2.ru .

Вычислим на основе модели значения з/п по формуле:

елинейная парная регрессия - student2.ru

с использованием встроенной функции СТЕПЕНЬ( елинейная парная регрессия - student2.ru ; елинейная парная регрессия - student2.ru ). В итоге будет заполнена колонка елинейная парная регрессия - student2.ru таблицы.

Далее вычисляются остатки елинейная парная регрессия - student2.ru , их квадраты елинейная парная регрессия - student2.ru , разности елинейная парная регрессия - student2.ru , а также их квадраты елинейная парная регрессия - student2.ru . В итоге в строке "Сумма" колонки елинейная парная регрессия - student2.ru таблицы определится факторная сумма квадратов елинейная парная регрессия - student2.ru .

Построим график функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмми убедимся, что кривая неплохо представляет искомую зависимость.

елинейная парная регрессия - student2.ru

Найдем индекс корреляции по формуле 1.2.12 (значение елинейная парная регрессия - student2.ru определено ранее):

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Близость индекса корреляции к единице указывает на тесную степенную связь между изучаемыми признаками.

Рассчитаем индекс детерминации по формуле 1.2.13:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Из значения индекса детерминации елинейная парная регрессия - student2.ru следует, что з/п по этой модели на 84% обусловлена возрастом рабочего.

Оценим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив елинейная парная регрессия - student2.ru по формуле 2.6:

елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru .

По елинейная парная регрессия - student2.ru видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,9%, что говорит о неплохом качестве модели по этому критерию.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.2.7:

Найдем производную:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Отсюда

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Из этого следует, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,86%.

Рассчитаем елинейная парная регрессия - student2.ru критерий Фишера по формуле 1.2.8:

елинейная парная регрессия - student2.ru .

Табличное значение елинейная парная регрессия - student2.ru = елинейная парная регрессия - student2.ru уже ранее определено. Так как выполняется неравенство елинейная парная регрессия - student2.ru , то можно сделать вывод о надежности и статистической значимости степенной модели.

3.Для сравнения двух нелинейных моделей составим итоговую таблицу со значениями средней относительной ошибки аппроксимации и индекса детерминации:

Модель елинейная парная регрессия - student2.ru елинейная парная регрессия - student2.ru
Гиперболическая 8,73 0,778
Степенная 9,90 0,844
Линейная 10,16 0,72

Из таблицы видно, что по средней ошибке аппроксимации лучшей является гиперболическая модель, а по индексу детерминации – степенная. Но по этим показателям они обе лучше линейной модели. Для практического использования можно рекомендовать степенную модель.

Наши рекомендации