Вынуждающей силой. Резонанс скорости

Уравнение скорости vx(t) получим, дифференцируя уравнение смещения x(t) = Хcos (wt - j) по времени:

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = wX Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = wX Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru ,

где V = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = wX – амплитуда скорости. Скорость vx(t) =wX Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru и вынуждающая сила Fx(t) = F0 coswt сдвинуты по фазе по отношению друг к другу на угол a. Фаза a может принимать значения от ( Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru ) до (+ Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru ) радиан. При условии Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru фаза a = 0. В этом случае частота вынуждающей силы w равна собственной частоте w0, и между скоростью и вынуждающей силы отсутствует сдвиг фаз. При a = 0 механический импеданс приобретает минимальное значение и равен только его активной части:

Z = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = m.

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru На рис. 18 приведен график зависимости разности фаз между скоростью и вынуждающей силой. Так как при Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru механический импеданс r минимален, то в этом случае амплитудное значение скорости приобретает максимальное значение из всех возможных, т.е. наблюдается резонанс скорости. Резонансное значение скорости

Vр. = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (14)

На рис.19приведен график зависимости амплитуды скорости смещения V от частоты вынуждающей силы w – график функции

V(w) = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Из выражения для амплитуды скорости V = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru следует феноменологический смысл механического импеданса: механический импеданс Z = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru - это сила, которая необходима для сообщения колебательной системе единичной амплитудной скорости.

Всегда полезно результаты тех или иных расчетов представлять в разных формах, что позволяет более полно раскрыть содержание утверждений теории. Подставим в исходное дифференциальное уравнение Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru уравнения ускорения ax(t) º Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , скорости vx(t) º Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru и смещения смещение x(t):

w2Xcos (wt - j + p ) + 2bwX Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru + Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Хcos (wt - j) = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

На векторной диаграмме член Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Хcos (wt - j) направим по лучу отсчета (рис. 20). Этому члену на диаграмме соответствует вектор, модуль которого равен Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Х. Тогда векторная диаграмма члена 2bwX Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru будет повернута против часовой стрелки на Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru радиан. Этому члену на диаграмме

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru

соответствует вектор, модуль которого равен 2bwX. Векторная диаграмма члена w2Xcos (wt - j + p ) будет повернута на p радиан. Этому члену соответствует вектор, модуль которого равен w2X. Модуль результирующего вектора равен Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru и повернут относительно вектора смещения на угол j. В зависимости от соотношений между w2X и Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Х угол j может принимать значения от 0 до p (рис. 1-20 а, б). Из диаграммы следует выражение для тангенса разности фаз j: tg j = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

1.1.8. Устойчивость амплитуды вынужденных колебаний

В установившемся режиме работа вынуждающей силы должна компенсировать работу силы сопротивления: в течении периода Т = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru работа силы сопротивления Fсопр. = mvx должна быть равна работе вынуждающей силы Fx = F0 cos wt.

Вычислим работу через мощность силы: dA = Ndt = Fvxdt. Определим работу вынуждающей силы АB за период Т:

AB = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = p F0 X cosa . (15)

Работа AB идет на увеличение энергии осциллятора. Таким образом, за период T энергия осциллятора увеличивается на величину

ET = p F0 X cosa = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , где cosa = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru (15*)

Работа силы сопротивления Асопр. за период колебаний равна:

Асопр. = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = p m wX2. (16)

Поступающая в осциллятор энергия идет на работу против сил сопротивления. В установившемся режиме AB = Асопр.. Этому условию и должна удовлетворять амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Учитывая условие AB = Асопр., получим выражение для амплитуды установившихся вынужденных колебаний в виде:

X = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (17)

Вследствие того, что амплитуда неотрицательная величина, то cosa = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru в (17) берется по модулю. Кроме того, получим, что X = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , что, разумеется, совпадает с ранее полученным выражением для амплитуды смещения.

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru На рис. 21 приведены два графика: график работы вынуждающей силы AB(Х) при некотором значении a и график работы силы сопротивления Асопр(Х). Работа вынуждающей силы пропорциональна амплитуде смещения Х, а работа силы сопротивления пропорциональна квадрату амплитуды X2. Следовательно, графики AB(Х) и Асопр.(Х) пересекаются. Точка пересечения графиков соответствует установившемуся режиму вынужденных колебаний, т.е. условию AB = Асопр..

Установившаяся амплитуда вынужденных колебаний обладает устойчивостью. Действительно, допустим, по какой-либо причине амплитуда уменьшилась до значения Х1. В этом случае работа вынуждающей силы, которая отображена на графике точкой 1, превосходит работу силы сопротивления, которая отображена точкой 1*. Это приводит к увеличению амплитуды до первоначального устойчивого значения Х. Если амплитуда случайным образом увеличивается до Х2, то работа силы сопротивления (точка 2*) становится больше работы вынуждающей силы (точка 2), что приводит к уменьшению амплитуды до устойчивого значения Х.

1.1.9. Добротность осциллятора

Выражение для добротности колебательной системы (осциллятора) приведено в § 1.1.4: Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = pNe. Добротность Q выражена как число пропорциональное числу колебаний Ne, которое совершает осциллятор в отсутствии внешней вынуждающей силы за время релаксации t. Время релаксации t = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru секунд. Напомним, за время релаксации t амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз. Определим содержание понятия добротности из энергетических представлений.

Первоначальная энергия, содержащаяся в осцилляторе, затрачивается на работу против сил сопротивления, что и приводит к затуханию колебаний в отсутствии внешней вынуждающей силы. В этой связи добротность Q можно рассматривать как характеристику быстроты уменьшения энергии осциллятора при затухающих колебаниях.

При затухающих колебаниях x(t)= A Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru cos (w/t + a) амплитуда уменьшается по закону A Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = A Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Здесь A – начальная амплитуда осциллятора, a - начальная фаза, w/ = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru - частота затухающих колебаний и 2b = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Энергия осциллятора E пропорциональна квадрату амплитуды A2 Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru :

E = E0 Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (18)

Из (18) видно, что за время t = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru энергия осциллятора становится равной Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , т.е. уменьшается в e ≈ 2,7 раз. За время t = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru осциллятор совершит Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru колебаний, и фаза изменится на величину w/t = w/ Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru радиан. Добротность определяется как число радиан, на которое изменяется фаза затухающих колебаний при уменьшении энергии осциллятора в e ≈ 2,7 раз:

Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

В обычных колебательных системах коэффициент затухания много меньше собственной частоты системы w0 >> b, поэтому можно приблизительно считать, что w/ ≈ w0 = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

В этом приближении добротность примет вид:

Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru или (19)

Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (19*)

где t - время релаксации, за которое осциллятор успевает совершить Ne колебаний. Добротность является одной из важных собственных характеристик колебательной системы.

Покажем, что из (19) следует формула: Q = p Ne. Если в некоторый момент времени смещение принимает, например, амплитудное значение, то при изменении фазы колебания на 2p радиан, смещение вновь принимает амплитудное значение. Отношение Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , но w0 = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru и Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = 2b = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , поэтому Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . За время релаксации t осциллятор совершает Ne колебаний, т.е. Ne = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , где T - период колебаний, следовательно: Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru или

Q = p Ne.

1.1.10. Добротность и резонансная кривая поглощения

Осциллятора

Как видно из формулы (19), добротность определяется собственной частотой w0 и активной составляющей импеданса m (сопротивлением среды). Получим еще одно выражение для добротности осциллятора, непосредственно связанное с зависимостью поглощения энергии осциллятором от частоты вынуждающей силы.

Предварительно определим энергию, передаваемую вынуждающей силой осциллятору, за единицу времени. За период осциллятор получает энергию, определяемую выражением (15*), см. § 1.1.8. За единицу времени энергия, передаваемая осциллятору (мощность P, передаваемая осциллятору), равна P = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru , (20)

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru т.к. w = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru и cosa = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru (см. рис. 13 и 14). Импеданс минимален при условии Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru (т.е. при Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = w0). При этом условии Z = m и осциллятору передается максимальная мощность. При w = w0 наблюдается резонансное поглощение энергии. Резонансная мощность поглощения принимает вид:

Pр = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (24)

Напомним, при условии w = w0 наблюдаем резонанс скорости (см § 1.1.7, рис. 1-19). Таким образом, при максимальной скорости осциллятора (при резонансе скорости) наблюдается максимальное поглощение энергии (резонанс мощности поглощения), передаваемое осциллятору внешней вынуждающей силой. На рис. 22 приведена кривая зависимости мощности поглощения от частоты вынуждающей силы, определяемая формулой (20). На рисунке частоты w1 и w2 соответствуют мощности поглощения, которая равна половине резонансной мощности.

Покажем, что добротность осциллятора можно выразить отношением: Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Попутно заметим, разность частот (w2 -w1) определяет остроту резонансной кривой по мощности (или, как говорят, остроту резонансного максимума).

Частоты w1 и w2 находим из условия Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Отсюда следует, что при частотах w1 и w2 имеем равенство: Z2 = 2m2. Из равенства Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = 2m2 получим: Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = ± m или

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = +m и Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = -m (w2 >w1)

Исключив из этих уравнений жесткость k, получим: w2 -w1= Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru .

Подставим значение разности частот в формулу добротности (19):

Q = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (21)

Разность частот (w2 -w1) называют частотной шириной поглощения.

Итак, по остроте резонансной кривой поглощения можно судить о добротности колебательной системы: чем острее резонанс, т.е. чем меньше частотная ширина поглощения (w2 -w1), тем добротнее осциллятор. Например, добротность кварцевого резонатора, используемого в прецизионных генераторах радиочастотного диапазона, достигает значений ~106. У таких резонаторов при n0 = 1МГц ширина частоты поглощения ~ 1Гц.

При частотах вынуждающей силы w1 и w2 осциллятор поглощает в единицу времени энергию, равную половине резонансной мощности поглощения при w0. Определим значения амплитуды скорости на частотах w1 и w2 и сравним их с резонансной амплитудой скоростью Vp..

Амплитуда скорости определяется выражением V = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = wX, а резонансная скорость Vр. = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Так как Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = +m и Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = -m, то при частотах w1 и w2 импеданс имеет вид: Z = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = m Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . Отсюда следует, что при частотах w1 и w2 амплитудное значение скорости:

V = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru = Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru . (22)

Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru Величина Вынуждающей силой. Резонанс скорости - student2.ru ≈ 0,707. Интервал (w2 -w1) на уровне 0,7 называют еще частотной шириной пропускания колебательной системы по скорости (рис. 23). Именно в интервале этих частот вынуждающей силы колебательная система отвечает на внешнее воздействие заметной скоростью. Если частота w вынуждающей силы F = F0 cos wt окажется вдали от интервала частот (w2-w1), то колебательная система практически не реагирует на такое внешнее воздействие.

Наши рекомендации