Правила вычисления вероятностей. Алгебраические системы

Алгебраические системы

Алгебраическая система – множ G с заданным на нем набором операций и отношений, удовл некоторой сис-ме аксиом.

Группа – непустое множ с опред на нем бин операцией удовл аксиомам.

Подгруппа – подмнож H группы G, само явл группой отношений операции, опред G.

Абелева группа – группа, в которой групповая операция явл коммутативной (изменяющейся).

Вектор – направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало и конец.

Векторное пространство – матем понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Линейная комбинация векторов – вектор, представленный в виде x= , где коэф – произвольные числа; – рассматриваемые векторы (i = 1, … , n).

Базисом ненулевого векторного пространства V над полем F наз сис-ма векторов, которая порождает V или линейно зависима.

Размерностью ненулевого вект простр V=/0 наз мощность его базиса. Для нулекого вект простр V=0 полагают, что его размерность равна нулю ( ).

Элементы линейной алгебры

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо эл-тов (чисел, мат выражений), состоящая из m-строк и n-столбцов.

Если m=n, то матрица наз квадратной.Матрица состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица mn, все эл-ты которой равны нулю, наз нулевой матрицей и обозн через 0. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, наз соотв вектор-строкой или вектор-столбцом.

Умножение матриц. Умножением матрицы А размеров m*n на матрицу В размеров n*k называется матрица С размером m*k, эл-ты которой вычисл по формуле: , где i=1,…,m; j=1,…,k. Умножение матриц – некоммутативная операция => сущ такие матрицы А и В, что АВ=/ВА

Свойства опер умнож матриц:

Ассоциативность умножения: АВ(С)=А(ВС); (АВ)=( А)В=А( В), где

Дистрибутивность умножения: А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС

ЕА=А, АЕ=А, где Е – единичная матрица соответствующего порядка

Минором эл-та матрицы n-ого порядка наз определитель матрицы -ого порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением эл-та матрицы n-ого порядка наз его минор, взятый со знаком, зависящий от номера сроки и номера столбца.

Определителем наз число равное разности произведений эл-тов, стоящих на главной диагонали и эл-тов, стоящих на побочной диагонали.

Свойства определителей:

Полилинейность – означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам).

При добавлении линейной комб опред не изменится.

Если две строки/столбца матрицы совпадают, то ее определитель равен нулю

Если 2 или более строки/столбца матрицы линейно зависимы, то ее определитель равен 0.

Матрица наз вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Формула вычисления обратной матрицы:

, где – алгебраическое дополнение эл-тов

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пусть А – исходная матрица, обратную к которой мы хотим найти.

n и k – кол-во строк и столбцов в ней соответственно

Сначала проверим явл ли А квадратной, т. Е. совпадают ли nи k. Затем проверим равен ли определитель матрицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует. Создаем матрицу Inv равную единичной размерности n*n. При помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приводим матрицу А к единичной. Причем, параллельно, те же преобразования производим и с матрицей Inv = > будет явл обратной матрицей к исходной А.

Метод Гаусса

Метод Крамера

Алгебра высказываний

Высказывание – это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух лог знач: «ложь» или «истина».

Операции над высказываниями:

Отрицание – лог выск, принимает знач «истинно», если исходное высказывание ложно и наоборот. Если на входе «0», то на выходе «1» и наоборот.

Конъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны (лог «и»). Если у обеих опер будет знач «1», то на выходе будет «1». В остальных случаях «0».

Дизъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно (лог «или»). Если у обеих опер будет знач «0», то на выходе будет «0». В остальных случаях «1».

Импликация – лог выск, ложное только тогда, когда В ложная, а А истинно. А->В и В=0 => А->В = «0». В остальных случаях «1».

Эквивалентность – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или одновременно ложны. Если А=0 и В=0 или А=1 и В=1, то А В будет иметь знач «1», в остальных случаях «0».

Составное высказывание – выск, которое образовано из простых выск путем объединения с помощью лог операций.

Классификация формул алгебры высказывания:

Формула алгебры выск F( ) наз выполнимой, если некоторая ее конкретизация явл истинным высказыванием.

Формула алгебры выск F( ) наз опровержимой, если некоторая ее конкретизация явл ложным высказыванием.

Формула алгебры выск F( ) наз тавтологией, или тождественно истинной, если все возможные ее конкретизации явл истинными.

Формула алгебры выск F( ) наз противоречием, или тождественно ложной, если все возможные ее конкретизации явл ложными.

Основные тавтологии:

Закон тождества: P Р

Закон контрапозиции: (P Q) (неQ неР)

Закон исключенного третьего: PVнеP

Логическая равносильность формул –ф-лы наз равносильными, если получ ф-ла тождественно истинна.

Логическое следование – одно из фундаментальных отношений между высказываниями, используемое для проверки правильности рассуждений.

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие – подмножество множ исходов случайного эксперимента.

Вероятность –Численная мера степени объективности наступления какого-либо события.

Относительная частота – отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Совместное событие – любое событие, которое представляет собой одновременное возникновение любых двух (или более) событий.

Несовместные события – несколько событий наз несовм соб, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случ эксперимента.

Полная группа событий – совокупность событий образует п.г.с. для данного испытания, если его результатом обязательно становится, хотя бы одно из них.

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное в промежутке между нулем и единицей.

Основные правила комбинаторики:

Правило суммы: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а другой объект В можно выбрать m-способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить n+m-способами.

Правило произведения: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать m-способами, то пары объектов А и В можно выбрать n*m-способами.

Сочетанием эл-тов из Е= по k наз упорядоченное подмнож из k эл-тов, принадлежащих Е и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком эл-тов.

Пересечением наз размещения без повторений из n эл-тов, в кот входят все эл-ты.

Размещение из n эл-тов из Е= по k – всякая конечная последовательность, состоящая из k-членов данного множ Е.

Правила вычисления вероятностей

Условная вероятность – вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Суммой двух случайных событий А и В наз события, состоящие в появлении события А, или события В, или обоих этих событий (лог «или»).

Суммой нескольких случайных событийназ событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух случайных событий А и В наз событие, состоящее в совместном двух этих появлении (лог «и»).

Произведением нескольких случайных событий наз событие, состоящее в повялении всех этих событий одновременно.