Решение уравнений гемодинамики на графе
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ
1. Введение
В своей работе я исследовал математические модели, предназначенные для исследования кровообращения в организме в под действием периодически сокращающегося сердца. Обращается внимание на взаимное влияние различных органов (в первую очередь почки) на давление в кровеносной системе. Предусматривается также изучение воздействия разнообразных факторов, связанных с отклонениями от нормы функциональных характеристик сосуда, на состояние системы в целом.
При исследовании моделей гемодинамики важную роль играют точные и приближенные аналитические решения модельной задачи. Эти решения могут быть использованы как тесты для апробации математических моделей течения жидкости по эластичным трубкам.
Система кровообращения формально описывается графом, состоящим из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма.
Математическая модель
В основу описания движения крови в кровеносной системе положим законы сохранения массы и импульса (количества движения).
Сосуды будем считать достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром), что позволяет использовать для их математического описания приближение .
В качестве пространственной координаты x выберем длину дуги (оси сосуда), проходящей через центры круговых сечений сосуда. Площадь сечения S(x,t) зависит от координаты x и времени t. Скорость движения крови будем считать направленной вдоль оси сосуда и обозначать u(x,t) . Давление в крови будем обозначать p(x,t) . Плотность крови r считаем постоянной (несжимаемая жидкость).
Уравнения гемодинамики в сосуде.Закон сохранения массы для сосуда в приближении описывается дифференциальным уравнением:
(1)
Интегральная форма этого уравнения на участке сосуда отражает баланс массы крови и имеет вид
Закон сохранения импульса (количества движения) приводит к дифференциальному уравнению
(2)
Здесь FT – плотность гравитационной силы, которая в простейшем случае равна , где - угол между осью сосуда и направлением вектора ускорения свободного падения, величина которого равна g. Сила FTP -сила вязкого трения о стенки сосуда [5].
Интегральная форма закона сохранения импульса, лежащая в основе вывода (2) на элементарном участке сосуда имеет вид:
Уравнение (2) после преобразований с учетом уравнения (1) приводится к виду:
Упруго-механические свойства сосудов будут учитываться в приближении простейшей модели изотропной тонкой оболочки. Пусть в равновесном состоянии для данного сосуда некоторому давлению p0 соответствует определенное известное сечение S0 .При отклонениидавления от p0 сечение S также изменяется в зависимости от (p-p0) по закону, вообще говоря, нелинейному: S = S0 + f(p-p0).
При малых отклонениях (p-p0) функция f(x) близка к линейной, т.е.
где k - коэффициент жесткости сосуда. По мере выхода давления из диапазона p-<p<p+ сечение практически перестает изменяться, асимптотически приближаясь к предельным сечениям Smin и Smax соответственно. Обычно, конкретный вид зависимости берется из данных физиологических экспериментов. Характерный график качественно воспроизведен на рис.1.
Рис.1
Значения функций s (x,t) , p (x,t) , u (x,t) в граничных точках всех сосудов связаны между собой дополнительными соотношениями , отнесенными к конкретным вершинам графа .
В вершинах графа, соответствующих участкам ветвления кровеносных сосудов, предполагаются выполненными равенства , выражающие закон сохранения массы и постоянства интеграла Бернулли [5]
, (3)
где индексы i и j пробегают номера всех ребер графа, связанных с рассматриваемой вершиной.
В вершинах графа, соответствующих участкам фильтрации крови через мышечную ткань или отдельные органы, предполагаются выполненными алгебраические соотношения, выражающие закон сохранения массы и закон фильтрации Дарси:
(4)
где индексы i и j равны номерам ребер , связанных с рассматриваемой вершиной,
- коэффициент фильтрации.
В вершине, функционально соответствующей сочленению аорты с сердцем , задается зависимость от времени либо потока крови
, (5)
согласованная с величиной сердечного выброса , либо артериального давления
, (6)
В вершине, соответствующей сочленению сердца с венозной частью сосудистой системы задается зависимость от времени давления . Будем считать , что при нормальной работе сердца, приближенно, мм. рт. ст.
Решение уравнений гемодинамики на графе
Для проведения расчётов существует комплекс программ , реализующий описанный выше алгоритм численного решения системы уравнений гемодинамики на графе сосудов. Комплекс позволяет задавать конфигурацию графа, значения параметров, управлять расчётом и обрабатывать результаты в интерактивном режиме (рис.5а). На рис.5б приведен для примера граф, описывающий систему сосудов головного мозга человека, а на рис.5в приведен граф, описывающий большой и малый круг кровообращения человека.
а)
б) в)
Рис.5
Консервативность. Разностная схема ( имеет дивергентный вид, поэтому во внутренних узлах каждого ребра она является консервативной. Возможное нарушение консервативности решения может иметь место в узлах сопряжения. В связи с этим, в процессе решения контролируется общий объем крови в системе, поток на входе и выходе из системы, баланс крови в системе в течении периода сокращения сердца. Как показали многочисленные тестовые расчеты, балансовые показатели консервативности выполняются на начальных этапах расчетов с точностью 0.01%, в квазипериодическом режиме – с точностью до 0.001%.
Начальные условия. Математическая модель системы кровообращения на графе эластичных сосудов является очень чувствительной по отношению к постановке начальных данных и значениям параметров сосудов и узлов сопряжения.. В частности, неудачный выбор параметров узлов и сосудов может приводить к явлениям нефизического резонанса в сосудах, эффектам «запирания» в узлах и т.п. Подробное описание принципов задания начальных данных приведено .
Краевые условия. Краевыми условиями в системе гемодинамики являются параметры сердечного выброса в аорту и разрежение, создаваемое сердцем в венозной части. Простейшая модель функции (5) изображена на рис. 6.
| |
Рис.6
Здесь и – время систолы и диастолы. Форма кривой приближает экспериментальную, а интеграл под кривой равен сердечному выбросу за одно сокращение. На выходе из венозной части системы (на входе в сердце) поддерживается постоянное давление (6).
6. Пример расчёта большого круга кровообращения
Рассматривался большой круг кровообращения, изображенный на графе (см. рис.5). Начальные данные, краевые условия и параметры сосудов задавались в соответствии с процедурой, описанной выше. Общее количество параметров, характеризующих систему, более тысячи, поэтому приведем лишь некоторые из основных. Время систолы 0.3 сек, время диастолы 0.5 сек, общий объем системы 4 литра, объем сердечного выброса 80 мл, изменение величин и по системе от 10мм.рт.ст. до 150мм.рт.ст. Начальное давление в артериальной части 100мм.рт.ст., в венозной части 10мм.рт.ст. После начала расчета, через время порядка 10-20 периодов работы сердца течение крови в системе приобретает квазиустановившийся характер, а через 30-50 периодов баланс крови в системе за период сжатия сердца выполняется с точностью до 0.001% и стабилизируется. На рис.7 изображены графики функции расхода q(t) в артериях левой и правой руки и правой ноги в течении двух сердечных периодов.
Рис.7
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С.А.Регирер. Лекции по биологической механике. М., 1980.
2. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М., Наука, 1988.
3. М.В.Абакумов, К.В.Гаврилюк, Н.Б.Есикова, В.Б.Кошелев, А.В.Лукшин, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы. Дифференциальные уравнения,1997, 33(7), с.892-898.
4. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М., “Наука”, 1972.
5. И.В.Ашметков, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко. Частные решения уравнений гемодинамики. Препринт. М., Диалог-МГУ, 1999.
6. А..А.Самарский. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977.
7. М.В.Абакумов, Н.Б.Есикова, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. Препринт. М., Диалог-МГУ, 1998.
8. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. М., Наука, 1989.
9. Ю.М.Шокин, Н.Н.Яненко. Метод дифференциальных приближений. Нов.: Наука, 1976.
10. И.В.Ашметков, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко. Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений гемодинамики. Препринт. М., Диалог-МГУ, 1999.
11. А.А.Самарский, Ю.П.Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.:Наука, 1992.