Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы. Действия над матрицами
Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел
состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут
, , 1 . Множество всех матриц порядка обозначим , множество всех квадратных матриц порядка – через .
Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называют матрицу , определяемую по правилу при этом пишут .
Суммой матриц , называют матрицу , определяемую по правилу ; при этом пишут . Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка.
Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу ; при этом пишут . Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент матрицы есть результат скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В.)
Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел
кроме одного: вообще говоря,
Матрицу
называют транспонированной к матрице А и пишут ; получается из А переменой местами столбцов и строк.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называется матрица состоящая из нулей.
Единичной матрицей порядка называется квадратная матрица , на главной диагонали которой, тянущейся слева-сверху-вправо-вниз, находятся единицы, а остальные элементы равны 0:
Часто пишут просто Е, опуская индекс n там, где это не приводит к недоразумению.
Матрицы О и Е играют роль нуля и единицы: (операции считаются дозволенными).
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, называется треугольной.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Вычислить 3A – 2BC, если:
.
Ответ. .
2.Вычислить:
.
Ответ. .
3.Вычислить: а) ; б) .
Ответ. а) ; б) .
Задания для самостоятельного решения
1.Найти многочлен от матрицы А, если , .
Ответ. .
2.Найти , если , .
Ответ. .
Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице если AB = BA = Е; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если . Если – невырожденная матрица, то
где алгебраические дополнения элементов
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида
Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).
Матрицы
называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме