Касательные, параллельные осям координат
Пусть 
- гладкая кривая, заданная уравнением 
.
Зафиксируем точку 
и рассмотрим произвольную прямую 
, проходящую через эту точку. Пусть 
произвольная точка линии , 
– её расстояние до прямой .
Прямая называется касательной к линии в точке 
, если при стремлении к по линии отношение 
стремится нулю.
Имеет место
Т е о р е м а. Гладкая кривая имеет в каждой своей точке касательную, причем единственную.
При доказательстве этой теоремы расстояние 
можно найти как длину вектора 
и использовать при этом формулу Тэйлора.
Расстояние можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторе и направляющем орте 
прямой . Тоесть 
.
Тогда получим, что 
тогда и только тогда, когда 
, то есть направляющий орт касательной коллинеарен вектору 
. Таким образом, направляющим вектором касательной к гладкой кривой в точке 
является вектор .
а) горизонтальные:
(0)=(0; 0)
( 
) =( 
; 
)
( 
)=( ; 
)
В этих точках горизонтальные касательные касаются графика функции (t).
б) вертикальные
В этих точках вертикальные касательные касаются графика функции (t).
Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб.
считается непрерывно дифференцируемой в 
.
называется обыкновенной, если 
, в противном случае точка - особая.
Теорема. Если - обыкновенная точка по линии 𝜸, то прямая l, проходящая через 
с направляющим вектором определена однозначно.
Пусть 
- первая, отличная от нуля производная в точке M и 
- первая из производных, неколлинеарных вектору 
. Тогда возможны следующие случаи:
1) p – нечетное, q – нечетное. Следовательно, M – точка перегиба
2) p – нечетное, , q – четное. Следовательно, образ кривой имеет такой же вид, как окрестность обыкновенной точки.
3) p – четное, q – нечетное. Следовательно, точка M – точка возврата 1 рода.
4) p – четное, q – четное. Следовательно, точка M – точка возврата 2 рода.
Найдем вторую производную:
Достаточное условие перегиба:
Первая и вторая производные коллинеарны тогда и только тогда, когда их определитель равен нулю:
=0
t=0
t=1-эта точка не входит в область определения.
(0)=(0;0)
p=2
(0) 
q=3.
Получили, что (0)=(0;0) является точкой возврата I рода.
Таблица поведения кривой.
| t | X(t) | Y(t) | k | |
| симметрия кривой относительно оси Ох установлена | ||||
| точка пересечения с осями Ох и Оу | ||||
+  | -1 | + | Вертикальная асимптота | |
| - | -1 | - | Вертикальная асимптота | |
y=x-  при  y=-x+ при  | Наклонные асимптоты | |||
 | |  | Касательная параллельная Ох | |
| - | |  | Касательная параллельная Ох | |
| Точка возврата I рода | ||||
| -0,5 | 0,33 | -0,17 | Точка пересечения кривой с асимптотой  | |
| 0,5 | 0,33 | 0,17 | Точка пересечения кривой с асимптотой  |
12. Изображение кривой.
|
Параметрическое задание кривой (функции) является, вообще, говоря, менее удобным по сравнению с явным или неявным заданием, так как при этом приходится исследовать два уравнения, а не одно (у=f(x) в случае явного задания и F(x,y)=0 в случае неявного задания). Важно отметить, что необходимо исследовать систему, т.к. разрозненные в результате исследования данные, относящиеся лишь к одному из уравнений системы, особой ценности не представляют.
В ходе работы была проанализирована научная литература по изучаемой проблеме, раскрыт смысл понятия «параметрически заданная кривая», а также рассмотрены основные положения исследования кривой и построения графиков, что может послужить основой при разработке соответствующих спецкурсов для студентов ВУЗов, а также школьного курса математики.
Исследовав нашу кривую, мы нашли основные данные, представили в виде таблицы, которые являются необходимыми для построения графика.
В ходе исследования были решены все задачи и цель данной работы достигнута.