Динамика поступательного движения

· Согласно второму закону Ньютона:

, или ,

где m - масса тела; а – ускорение, приобретенное им под действием силы F; v₁ и v₂ – начальная и конечная скорости.

· Закон сохранения импульса (количество движения):

или для двух тел (i=2)

,

где и – векторы скоростей тел до взаимодействия; и – векторы скоростей тех же тел после взаимодействия.

· Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила тяжести: ;

б) сила трения скольжения: ,

где k – коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

в) сила упругости: ,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины), х – абсолютная деформация;

г) сила гравитационного взаимодействия: ,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы тел; r – расстояние между телами.

· Работа постоянной силы F на пути S:

,

где a – угол между направлением силы и пути.

· Мощность постоянной силы:

,

где v – скорость движения.

· Кинетическая энергия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью ,

.

· Потенциальная энергия упруго деформируемого тела:

,

где Dх – величина деформации; k – коэффициент упругости.

· Потенциальная энергия тяготения двух шарообразных тел (или материальных точек) с массами m₁ и m₂:

где R – расстояние между телами; G – гравитационная постоянная.

· Потенциальная энергия тела массой m, приподнятого на небольшую высоту h над землей:

.

Динамика вращательного движения

· Момент силы F относительно некоторой оси вращения:

,

где R – расстояние между линией действия силы и осью вращения; J – момент инерции; e – угловое ускорение.

· Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) диска (цилиндра): ,

где R - радиус диска (цилиндра);

б) материальной точки: ;

в) тонкого стержня длиной l: ;

г) шара с радиусом R: .

· Закон сохранения момента импульса:

или для двух тел (i=2),

,

где и – моменты инерции тел и угловые скорости в начальный момент времени; и – в момент времени, принятый за конечный.

· Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

Примеры решения задач

Задача №1

Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид . Определите силу, действующую на тело с массой m=1 кг в конце второй секунды.

Решение

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна:

.

Мгновенное значение ускорения а определяется первой

производной от скорости по времени или второй производной от пути по

времени:

При t=2 с . Тогда

Задача №2

Тело массой 2 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени выражается уравнением S=2t²+3t+1. Определите работу силы за 10 с сначала ее действия.

Решение

Работа, совершаемая силой, выражается через интеграл:

. (1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона:

. (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени. В соответствии с этим получим:

(3)

, (4)

. (5)

Тогда из формулы (3) имеем

(6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим:

Работа, совершаемая силой за 10 с сначала движения, составит:

.

Задача №3

Диск радиусом R=10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения:

1) тангенциальное ускорение ;

2) нормальное ускорение ;

3) полное ускорение .

Решение

Найдем угловую скорость, взяв производную по времени от заданного уравнения:

, при .

Угловое ускорение: , при

.

Тангенциальное ускорение:

.

Нормальное ускорение: .

Полное ускорение: .

Задача №4

Шар радиусом R=10 см и массой m=15 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению С = –0,2 рад/с³). Определите момент силы М для t=3 c.

Решение

Момент силы согласно уравнению динамики вращательного движения:

, (1)

где J – момент инерции шара,

. (2)

Угловое ускорение определяется первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

,

(3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

Задача №5

По горизонтальной поверхности катится диск со скоростью . Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленный самому себе, остановится, пройдя путь .

Решение

Кинетическая энергия диска:

__________ , (1)

где момент инерции диска,

угловая скорость,

. (2)

Эта энергия пойдет на работу по преодоления сил сопротивления

(3)

Приравнивая (2) и (3), получим:

Задача №6

Радиус Луны , а ее средняя плотность . Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Решение

На всякое тело, расположенное вблизи

поверхности планеты действует сила тяжести:

(1)

__________________ Ее можно приравнять к силе гравитационного

тяготения : . (2)

Откуда , (3)

где масса Луны, (4)

Подставив (4) в (3), получим: , (5)

.

Задача №7

Логарифмический декремент затухания камертона, колеблющегося с частотой , равен . Через какой промежуток времени амплитуда колебаний возбужденного камертона уменьшится в раз? Как изменится при этом энергия колебаний?

Решение

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем

по закону: , (1)

где коэффициент затухания,

_________ период колебаний, ,

- логарифмический декремент затухания.

1) С учетом этого формулу (1) можно записать так:

2) . (2)

Откуда . (3)

Энергия колебаний пропорциональна квадрату, произведения амплитуды и частоте колебаний: . (4)

В данной задаче поэтому . (5)

Проведем вычисления: .

ЗАДАНИЕ 2. Молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы

· Количество вещества однородного газа (в молях):

, или ,

где N – число молекул газа; N_A – число Авогадро; m – масса газа; М– молярная масса газа.

· Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния газа):

,

где p – давление газа; V – его объем; T – температура; R – молярная газовая постоянная.

· Масса молекулы m_i:

· Концентрация молекул (число молекул в единице объема) n₀:

,

где N – число молекул, содержащихся в данном объеме; r – плотность вещества.

· Средняя кинетическая энергия движения молекулы:

,

где i - число степеней свободы; k - постоянная Больцмана.

· Основное уравнение кинетической теории газов:

, ,

где n₀ – концентрация молекул; <w_п> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

· Зависимость давления газа от концентрации молекул n₀ и температуры Т:

.

· Средняя квадратичная скорость молекулы:

.

· Средняя арифметическая скорость молекулы:

.

· Наиболее вероятная скорость молекулы:

,

где m₁ – масса одной молекулы.

· Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (с_v) и при постоянном давлении (с_р):

; .

· Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями:

.

· Уравнение Роберта Майера:

.

· Среднее число соударений молекул:

,

где d – эффективный диаметр молекулы.

· Средняя длина свободного пробега молекулы:

.

· Масса, переносимая при диффузии сквозь площадку DS за промежуток времени Dt (закон Фика):

,

где D – коэффициент диффузии; Dr /Dх – градиент плотности.

· Энергия, переносимая вследствие теплопроводности через площадку DS за промежуток времени Dt (закон Фурье):

,

где l – коэффициент теплопроводности; – градиент температуры.

· Сила внутреннего трения F, действующая между слоями жидкости, пропорциональна площадке соприкасающихся двух слоев жидкости DS, градиенту скорости и коэффициенту внутреннего трения h (закон Ньютона):

.

· Внутренняя энергия газа:

.

· Первое начало термодинамики:

,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); DU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершаемая системой против внешних сил.

· Работа расширения газа:

а) при изобарном процессе: = ;

б) при изотермическом процессе:

=

в) при адиабатном процессе:

.

· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:

, и

· Термический КПД идеальной тепловой машины:

, или ,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом охладителю; Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры нагревателя и охладителя.

· Коэффициент поверхностного натяжения:

,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости.

· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

,

где Q - краевой угол; r - плотность жидкости; R – радиус трубки.

· Изменение энтропии системы при переходе из состояния А в состояние В: ,

где количество теплоты, переданное системой ; Т- температура, при которой происходила теплопередача.

Примеры решения задач

Задача №1

Определить среднюю кинетическую энергию молекулы кислорода, находящейся при температуре 17°С. Найти также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода.

Решение

Средняя кинетическая энергия (поступательного

и вращательного движения) одной молекулы:

(1)

где число степеней свободы, двухатомного

_____________________ газа ( на поступательное движение и

на вращательное движение) ; постоянная

Больцмана, .

.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

, (2)

где – число молекул: (3)

число Авогадро;

кинетическая энергия вращательного движения:

. (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим: .

.

Задача №2

Азот массой m нагревается в одном случае изобарно, а в другом изохорно на DТ. Во сколько раз потребуется больше теплоты в первом случае, чем во втором?

Решение

Теплота, потребляемая при изобарном процессе (P=const):

. (1) Теплота, потребляемая при изохорном процессе (V=const):

, (2)

где С_P и C_V – молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.

Поделив (1) на (2), получим:

. (3)

Так как

, (4)

, (5)

то подставив (4) и (5) в (3), получим:

.

Таким образом, для любой массы газа при одинаковой разности температур отношения теплот есть величина постоянная.

Задача №3

Определите диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при нормальных условиях равен .

Решение

Коэффициент внутреннего трения:

, (1)

где - средняя арифметическая скорость;

_________________ , (2)

средняя длина свободного пробега молекулы

кислорода:

, (3)

концентрация молекул: , (4)

плотность кислорода: . (5)

Подставив (2),(3),(4),(5) в уравнение (1), получим:

, откуда ,

, .

Задача №4

1 кг водорода нагрели до температуры 100°С в условиях свободного расширения (P=const). Определите: 1) количество теплоты, сообщенное газу; 2) изменение его внутренней энергии; 3) работу расширения.

Решение

1) Количество теплоты Q, сообщенное водороду при P=const, определим по формуле:

, (1)

где с_р – удельная теплоемкость газа при P=const.

, (2)

где i – число степеней свободы, для двухатомного газа i=5. Подставив (2) в (1), получим: .

.

2) Внутренняя энергия газа выражается формулой:

,

а изменение внутренней энергии:

, (3)

.

3) Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики:

. (4)

Откуда ,

.

Задача№5

Азот, находящийся при температуре 27°С и давлении в 1,5 атм, был адиабатически сжат до объема в 5 раз меньше начального объема. Определите давление и температуру азота после его сжатия.

Решение

Давление после сжатия определим по формуле

Пуассона:

, откуда , (1)

где отношение теплоемкостей при постоянном

_________________ давлении и при постоянном объеме:

, (2)

где число степеней свободы,

для двухатомного газа.

Температуру - после сжатия определим из формулы:

, откуда .

Произведем вычисления: .

ЗАДАНИЕ 3. Электростатика и постоянный ток

Основные формулы

По закону Кулона сила взаимодействия F между точечными зарядами Q₁ и Q₂, находящимися на расстоянии r один от другого в среде с диэлектрической проницаемостью e,

,

где e₀ = 8,85 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

· Напряженность электрического поля:

,

где F – сила, с которой поле действует на пробный заряд Q.

· Напряженность поля точечного заряда Q, или поля вне равномерного заряженного шара:

,

где r – расстояние от заряда Q или от центра шара до точки, в которой определяется напряженность.

· Напряженность поля прямолинейной равномерно заряженной бесконечно длинной нити:

,

где t – линейная плотность заряда нити; r – расстояние от нити до точки, в которой определяется напряженность поля.

· Напряженность поля, образованного равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

,

где s – поверхностная плотность заряда плоскости.

· Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из одной точки плоя в другую:

,

где А – работа перемещения заряда Q.

· Потенциал поля точечного заряда:

,

где r – расстояние от заряда Q, создающего поле, до точки, в которой определяется потенциал.

· Для плоского конденсатора связь между напряженностью поля Е и разностью потенциалов U его пластин:

,

где d – расстояние между пластинами.

· Электроемкость уединенного проводника:

.

· Емкость плоского конденсатора:

,

где S - площадь пластины конденсатора.

· Емкость уединенного проводящего шара:

,

где r – радиус шара.

· Емкость С системы конденсаторов связана с емкостями С_i, входящих в нее конденсаторов, соотношениями:

а) при последовательном соединении:

, или ;

б) при параллельном соединении:

, или

· Энергию W уединенного заряженного проводника можно определить по следующим формулам:

где Q, j и С – соответственно заряд, потенциал и емкость проводника.

Для плоского конденсатора

где S – площадь пластины; U – разность потенциалов между пластинами; s – поверхностная плотность заряда пластины; Е – напряженность электрического поля конденсатора.

· Плотность энергии электрического поля:

· Сила постоянного тока I связана с количеством электричества Q, проходящим через поперечное сечение проводника за время t, следующим соотношением:

· Плотность тока:

где S – площадь поперечного сечения проводника.

· Сопротивление проводника длиной l и площадью поперечного сечения S:

где r – удельное сопротивление материала проводника.

· Закон Ома для участка цепи:

где U – разность потенциалов на концах участка; R – его сопротивление.

· Закон Ома для полной цепи:

где x – электродвижущая сила источника тока; R – внешнее сопротивление цепи, r – внутреннее сопротивление источника тока.

· Удельное сопротивление r проводника связано с температурой t соотношением:

где r₀ – удельное сопротивление при 0°С; a – температурный коэффициент сопротивления.

· Работа тока А на участке цепи (или количество теплоты, выделенное в нем при прохождении тока) определяется формулами:

где t – время прохождения тока.

· Мощность тока, выделяемая на участке цепи, определяется соотношением:

· Полная мощность, выделяемая в цепи:

· Для расчета разветвленных цепей применяются два правила Кирхгофа.

Первое правило для алгебраической суммы токов в узле:

Второе правило для алгебраической суммы произведений токов на сопротивление участков и алгебраической суммы электродвижущих сил в контуре:

· Масса m вещества, выделившегося на электроде, пропорциональна химическому эквиваленту А/n, силе тока, протекающего через электролит, и времени прохождения тока:

,

где F – число Фарадея,

М – молярная масса,

n - валентность.

Примеры решения задач

Задача №1

Два заряда Q₁ = +8 нКл и Q₂ = -6 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 10 см от каждого заряда.

Решение

Напряженность электрического поля в точке А равна геометрической сумме напряженностей и , создаваемых зарядами Q₁ и Q₂.

Модуль результирующей напряженности Е по теореме косинусов определяется как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и :

(1)

Абсолютные значения напряженностей и cosa определяем по формулам:

, (2)

По теореме косинусов:

(3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

.

Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов j₁ и j₂ полей, создаваемых зарядами Q₁ и Q₂:

(4)

Потенциал поля точечного заряда

(5)

Подставив (5) в (4), получим:

(6)

Вычислим:

.

Задача №2

На помещенный между обкладками конденсатора заряд Q=2,5 нКл действует сила F=50 мкН. Площадь каждой пластины 100 см², расстояние между пластинами d=3 см. определить: 1) емкость конденсатора; 2) напряженность между обкладками; 3) разность потенциалов между обкладками; 4) энергию конденсатора; 5) объемную плотность энергии.

Решение

1) Емкость конденсатора:

(1)

2) Напряженность между обкладками:

(2)

3) Разность потенциалов:

(3)

4) Энергия конденсатора:

(4)

.

5) Объемная плотность энергии:

. (5)

.

Задача №3

Сколько времени потребуется для нагревания воды массой 1,0 кг от начальной температуры 10⁰ С до кипячения в электрическом чайнике с нагревателем мощностью 800 Вт, если его КПД равен 90%? Какова сила тока в электрической спирали, если напряжение в сети 220 В.

m=1,0 кг Решение

t₁ = 10⁰C 1) Количество теплоты, необходимой для нагревания

t₂ = 100⁰C воды: Q = cm(t₂-t₁)=cmΔ t .(1)

N = 800 Bт Она связана с мощностью нагревателя:

с = 4,2*10 ³ Дж/кг*К Q=ηN t (2)

η = 90 % = 0,9 Приравняв (1) и (2), получим:

____________________ ,

1) t = ? 2) I = ? .

2) Сила тока:

Задача№4

Внутреннее сопротивление аккумулятора 1 Ом. При силе тока 0,5 А его КПД равен 0,8. Определите ЭДС аккумулятора.

Решение

r=1Ом КПД источника тока: . (1)

J=0,5А Отсюда . (2)

Закон Ома для замкнутой цепи: (3)

___________ Подставив (2) в (1), получим:

Е - ? ;

Задача№5

Два одинаковых источника тока соединены в одном случае последовательно, в другом параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление 10 Oм. При каком внутреннем сопротивлении источника сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинаковой?

Решение

При последовательном соединении ,

а внутреннее сопротивление .

По закону Ома:

________ При параллельном соединении ,

а внутреннее сопротивление

По закону Ома:

По условию или ; , ,

Отсюда .

ЗАДАНИЕ 4. Электромагнетизм и переменный ток

Основные формулы

· Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля:

где m₀ – магнитная постоянная, m₀ = 4p*10^-7 Гн/м,

m – относительная магнитная проницаемость среды.

· Закон Био-Савара-Лапласа:

где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника длиной dl с током J; r – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой вычисляется магнитная индукция; a - угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника.

· Магнитная индукция в центре кругового тока:

где R – радиус кругового витка.

· Магнитная индукция поля прямого тока:

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

· Магнитная индукция поля, создаваемая отрезком провода с током J:

где a₁ и a₂ – углы между направлением тока и радиус – вектора, проведенные из начала и конца проводника в рассматриваемую точку.

· Напряженность магнитного поля внутри соленоида:

где п – число витков на единицу длины соленоида, N – общее число витков,

L – длина соленоида.

· Поток магнитной индукции, связанной с контуром:

где S – площадь, ограниченная контуром, a – угол между нормалью к плоскости контура и направлением вектора магнитной индукции.

· На прямолинейный проводник длиной l c током J, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера:

где a – угол между направлениями тока и вектора индукции.

· На заряженную частицу, движущуюся со скоростью n в магнитном потоке, действует сила Лоренца:

где q - заряд частицы, a - угол между направлением поля и скоростью частицы.

· При перемещении проводника с током J в магнитном поле (перпендикулярно полю) совершается работа:

где DФ – магнитный поток через площадь, описываемую проводником при перемещении.

· Закон Фарадея для электродвижущей силы индукции:

где – скорость изменения магнитного потока через площадь, ограниченную кругом.

· Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции:

где L – индуктивность в контуре, – скорость изменения тока в контуре.

· Индуктивность соленоида:

где N – число витков, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида.

Индуктивность контура L связана с пронизывающим его магнитным потоком Ф следующим соотношением:

,

где I – ток в контуре, обуславливающий магнитный поток.

Энергия магнитного поля, создаваемого током I в контуре и индуктивностью L:

.

· Плотность энергии магнитного поля:

где Н – напряженность, В – индукция магнитного поля.

ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S, содержащей N витков, при вращении ее с угловой скоростью w в магнитном поле с индукцией В определяется соотношением:

где wt – угол поворота рамки к моменту времени t.

Период собственных колебаний в контуре, не содержащих омическое сопротивление (ф.Томсона):

Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные омическое сопротивление R₀, индуктивность L и емкость:

.

Примеры решения задач.

Задача №1

Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной  = 20 см, если по рамке течет ток 3А.

Решение

 = 20 см=0,2 м Индукция магнитного поля в центре

I = 3A рамки равна векторной сумме ______________ индукций магнитного поля,

B -? создаваемых всеми её сторонами

.

Все эти факторы направлены в одну сторону перпендикулярно к плоскости рамки и вследствие симметрии B = 4B_j

, где ₁ = 45º , ₂ = 180º - 45º = 135º

Окончательно имеем:

Задача №2

Катушка длиной l = 40 см и диаметром 5 см содержит 300 витков. По катушке течет ток I = 1A. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь её поперечного сечения.

Решение

l=40 cм=0,4м 1) Индуктивность соленоида:

d=5cм=5*10^-2м L=μ₀ μ (1)

N=300 витков Площадь поперечного сечения:

I=1A (2)

μ₀=4π*10^-7Гн/м С учетом (2) индуктивность:

_________________ (3)

1) L-? 2)Ф - ?

2) Магнитный поток: , (4)

.

Задача №3

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 600 мин^-1 вращается рамка, содержащая 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки 200 см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна направлению магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

B = 0,1 Тл

n = 600 об/мин=10 об/с

N = 1000 витков

S = 200 см²=2*10^-2м²

_________________

E _max - ?

ЭДС по закону Фарадея:

Ф=NBS cos,  = ωt = 2πnt

Окончательно имеем: . E_max – при sin 2πnt.

E_max=2πnNBS=6.28*10*1000*0.1*2*10^-2=125B

Задача №4

По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Площадь поперечного сечения S = 10 см² и число витков N = 1000. Определить внутри соленоида: 1)энергию магнитного поля; 2) магнитную индукцию.

Решение

1) Энергия магнитного поля: (1)

2) Индукция магнитного поля соленоида: , (2)

где Н – напряженность магнитного поля.

Зная индуктивность, можно определить магнитную

проницаемость: ,

откуда , (3)

где l – длина соленоида.

Напряженность магнитного поля: (4)

Подставив (4) и (3) в (2), получим: (5)