Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в точке с абсциссой Уравнение касательной к графику функции - student2.ru . Сразу приведём готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Строгое определение касательной дается с помощью определения самой производной функции, и с этим пока повременим. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная.

Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при Уравнение касательной к графику функции - student2.ru касательная с угловым коэффициентом k (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке Уравнение касательной к графику функции - student2.ru .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой k.

Как составить уравнение касательной в точке с абсциссойУравнение касательной к графику функции - student2.ru ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Значение Уравнение касательной к графику функции - student2.ru нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке Уравнение касательной к графику функции - student2.ru :

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru .

На следующем этапе находим производную:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Подставляем значения Уравнение касательной к графику функции - student2.ru , Уравнение касательной к графику функции - student2.ru и Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в формулу Уравнение касательной к графику функции - student2.ru :

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Таким образом, уравнение касательной:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой принято записывать в так называемой общей форме Уравнение касательной к графику функции - student2.ru , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Очевидно, что точка Уравнение касательной к графику функции - student2.ru должна удовлетворять данному уравнению:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru – верное равенство.

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке Уравнение касательной к графику функции - student2.ru , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

Пример 5

Составить уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в точке с абсциссой Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной составим по формуле Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

1) Вычислим значение функции в точке Уравнение касательной к графику функции - student2.ru :

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

3) Вычислим значение производной в точке Уравнение касательной к графику функции - student2.ru :

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

4) Подставим значения Уравнение касательной к графику функции - student2.ru , Уравнение касательной к графику функции - student2.ru и Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в формулу Уравнение касательной к графику функции - student2.ru :

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Готово.

Выполним частичную проверку:

Подставим точку Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в найденное уравнение:

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru ;

Уравнение касательной к графику функции - student2.ru ; – верное равенство.

Пример 6

Составить уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции - student2.ru в точке с абсциссой Уравнение касательной к графику функции - student2.ru

Полное решение и образец оформления в конце урока.

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.

Наши рекомендации