Уравнение касательной к графику функции.

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке .

Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.

Т.к. прямая проходит через данную точку, то

, откуда .

Тогда . А поскольку , то

- уравнение касательной.

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (2;4).

.

.

Производные высших порядков.

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной:

.

Вторая производная также может быть обозначена символами , .

Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:

.

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например: или .

Опр. Производной n-го порядканазывается производная от производной (n-1)-го порядка: .

Пример. Найти вторую производную функции .

Решение. ;

.

Дифференциал.

Пусть функция определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки .

Тогда существует конечная производная .

По теореме о связи предела и бесконечно малой:

, где - бесконечно малая при . Отсюда

.

Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и бесконечно малого при .

Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:

.

Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.

. Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:

.

Пример. Найти дифференциал функции .

.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Из : . Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. d(С)=0;

2. d(u+v)=du+dv;

3. d(uv)=vdu+udv;

4. ;

5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Используя свойства дифференциала, получим:

.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. .

Опр. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала функции, т.е.:

.

Аналогично, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка этой функции: .