II. Модель одной фирмы

Проектное задание «Анализ динамической системы на основе компьютерного моделирования»

Построить компьютерную модель конкуренции. Выполнить анализ* конкуренции на основе моделирования.

*Анализ задачи конкуренции на основе компьютерного моделирования заключается в обоснованности выводов статьи с результатами моделирования.

Исходная информация

1. Статья «Модель конкуренции» (Зульпукаров М.-Г.М., Чернавский Д.С., Щербаков А.В.)

2. Технология построения динамической модели (лекция КТАДС)

3. Технология моделирования (лекция КТАДС)

4. Способ обоснования выводов статьи с результатами моделирования.

Рекомендации выполнения проектного задания

Шаг_1 Осуществляется анализ, суть которого состоит в выделении из статьи:

- цели

- исходных ограничениях,

- описании пространства состоянии объекта,

- формальном описании модели конкуренции, (закон функционирования, входы, выходы, параметры, ограничения)

- области исследуемых параметров модели конкуренции

Шаг_2 Построение компьютерной модели (компьютерная модель строится и использованием метода Рунг- Кутта 4-го порядка).

Шаг_3 Моделирование (получение состояния выходных переменных при выбранных значениях параметров)

Шаг_4 Получение фазовых портретов компьютерной модели при различных значениях параметров. Выбор значений параметров компьютерной модели, которые совпадают с значениями параметров в статье. При этом фазовые портреты компьютерной модели, должны совпадать с фазовыми портретами в статье. Если такие совпадения возможны, тогда компьютерная модель соответствует возможности получения выводов, совпадающих в статье. В противном случае модель не соответствует возможности получения соответствующих выводов в статье.

Структура проекта

Титульный лист

Аннотация

Содержание

Анализ статьи………………………………………………………………………….

Описание структурно функциональной модель объекта исследования…………..

Описание математической модель конкуренции……………………………………

Описание компьютерной модели конкуренции……………………………………..

Описание задачи анализа на основе моделирования………………………………..

Результаты моделирования……………………………………………………………

Выводы…………………………………………………………………………………

Литература……………………………………………………………………………...

Модель конкуренции

Зульпукаров М.-Г.М.

, Чернавский Д.С.

, Щербаков А.В.

Рассматривается модель конкуренции двух фирм – производителей товаров долговременного пользования. Показано, что при отсутствии внерыночных методов регулирования происходит монополизация (вытеснение одного из конкурентов), даже если конкуренты полностью равноправны.

Обсуждается вопрос об инновациях и динамике их внедрения на рынок. Предложенная математическая модель соответствует сценарию борьбы «новаторов» и «консерваторов», рассмотренному Шумпетером.

Для случая конкуренции отечественных производителей с импортёрами показано, что в сложившихся на российском рынке условиях отечественная обрабатывающая промышленность, выпускающая товары долговременного пользования, не может выжить без государственных мер протекционистского характера.

I. Введение

Вопросам математического моделирования экономических процессов посвящена обширная литература [1–7]. Одним из необходимых условий рыночной экономики считается наличие конкуренции [5,6,7], однако, вопросы о том, каковы методы конкуренции, как она происходит и к чему приводит, до сих пор остаются дискуссионными.Уместно сделать ряд предварительных замечаний.

1. Конкуренция имеет место между производителями взаимозаменяемых (и даже однотипных) товаров. Производители взаимодополняющих товаров чаще вступают в договорные отношения(образуют симбиоз).

2. Производители товаров I категории (жизненно необходимых, таких как пища, энергоресурсы и т.п.), как правило, контролируются либо государством, либо структурами его заменяющими, и часто являются естественными монополиями. В этих условиях роль конкуренции существенно снижается.

Поэтому, в данной работе, рассматривается конкурентная борьба между производителями товаров II категории (то есть, товаров долговременного пользования).

3. Важным фактором конкуренции является качество товара. Однако, само понятие «качество» включает множество факторов: долговечность, прочность, удобство в эксплуатации, эстетика, и т.п. В разных слоях общества шкала предпочтения этих свойств различна. Важную роль при этом играет цена продукта, так что потребитель ориентируется не на само качество, а на отношение цены к качеству.

В результате, в каждом слое общества, в котором потребители имеют примерно одинаковые накопления (и/или доходы), живут в одинаковых условиях и имеют одинаковую шкалу предпочтений, конкурируют фирмы, производящие однотипные товары (сходные по цене и качеству). Производители товаров другого «качества» (и цены) конкурируют в другой рыночной нише.

4. Производители принципиально новых товаров (инноваций), не имеющих (в данный момент)взаимозаменяемых аналогов, создают свою рыночную нишу. Конкуренция в ней возникает, когда в неё внедряются другие производители. Пример тому –персональные компьютеры и программное обеспечение для них, мобильные телефоны,и т.д. С технологическими инновациями дело обстоит иначе. В эпоху индустриального развития такие инновации играли главную роль. К ним относятся новые средства производства (новое оборудование, новые материалы, новые методы обработки и т.д.). При этом, «качество» конечного товара может и не меняться, но себестоимость его снижается. Фирма, овладевшая технологическими инновациями(условно называемая «новатором») вступает в конкурентные отношения с фирмой,производящей тот же товар, прежними методами (её можно условно назвать«консерватором»). При этом, «новатор», как правило, обладает малыми оборотными средствами, недостаточными для развёртывания производства, и вынужден брать кредит даже под высокие проценты (в надежде вернуть их за счёт инноваций).Консерваторы также вынуждены использовать кредит, и в результате возникает конкуренция за кредит. Эту ситуацию рассмотрел (на вербальном уровне) ещё в1930-х Шумпетер [8], который по праву считается родоначальником эволюционной экономики. Соответствующую математическую модель мы рассмотрим позже.

5. Наконец,очень важную роль при конкуренции играет реклама. По существу, речь идет о формировании общественного мнения, о преимуществах того или иного товара. Строго говоря, эта задача выходит за рамки экономических и связана с более общей проблемой: возникновения, эволюции и борьбе условных информаций [9]. Действительно, выбор предпочтения к одному из(однотипных) товаров – пример генерации новой информации. Если этот выбор совершается в коллективе, в результате общения людей, то это пример рождения условной информации.

Математическая модель борьбы и эволюции условных информаций рассматривалась применительно к биологическим процессам в [10]. Та же модель применительно к конкурентной борьбе рассмотрена в [11].

6. Вступая в конкурентную борьбу, предприниматель может ставить следующие цели:

1. Полностью вытеснить конкурента из определенной рыночной ниши.

2. Обеспечить определенную долю потребителей в условиях сосуществования с конкурентом.

3. Войти в рынок. Эта цель актуальна, если рынком владеет экономически сильный (обладающий большими средствами) конкурент, но не использующий инноваций.

Среди методов конкурентной борьбы можно условно выделить следующие группы.

i. Чисто экономические (рыночные) методы, не влияющие прямо на конкурента, но влияющие на рыночную цену. К ним относятся: сокращение производственного цикла, снижение себестоимости продукта. В компетенцию фирмы входит также и качество товара. Однако, как отмечалось выше, понятие «качества» многогранно и условно. Важно, что рыночная цена товара устанавливается в результате баланса спроса и предложения. Влиять на неё предприниматель может, только изменяя объем производства (то есть, предложение). В этом случае конкуренты непосредственно не взаимодействуют и получают информацию друг о друге через ситуацию на рынке. Эта модель в вербальной форме была рассмотрена Курно.

ii. Финансовые методы конкуренции. Имеются в виду случаи, когда один из партнеров «назначает» низкую цену своего товара (ниже себестоимости), и в результате конкурент разоряется. Такой метод имеет специальное название – демпинг. Речь идет о наводнении рынка товаром, в результате чего рыночная цена опускается ниже уровня себестоимости товара конкурента. При этом оба конкурента терпят убытки, и вопрос заключается в том, кто из них раньше разорится. Ясно, что на демпинг может решиться конкурент, обладающий запасом средств, которые он использует для дотаций своего производства в течение большого (но не бесконечного) времени. В целом, эта акция может иметь смысл, если в результате ее конкурент полностью вытесняется с рынка.

iii. Методы,выходящие за рамки чисто экономических. Легальным методом такого типа является реклама, о которой уже шла речь. Не меньшую роль играет антиреклама, то есть, мсоздание негативного отношения к товару конкурента. Формально она запрещена, но реально всегда имеет место даже вне зависимости от действий предпринимателя. К этой же группе относятся криминальные методы, которые мы обсуждать не будем.

Далее мы рассмотрим математическую модель конкурентной борьбы экономическими методами, что и является целью предлагаемой работы.

II. Модель одной фирмы

Для построения модели конкуренции хотя бы двух фирм необходимо рассмотреть модель одной фирмы. В работе [12] обсуждалась модель в случае, когда цена задана. Здесь мы рассмотрим модель фирмы, производящей продукт долговременного пользования, когда цена его определяется балансом спроса и предложения. Примем, что этот продукт занимает определенную нишу рынка и конкуренты в ней отсутствуют.

Обозначим:

N –число потребителей производимого продукта.

S –доходы потребителей данного продукта. Примем, что распределение потребителей по доходам унимодально и достаточно узко, так, что в первом приближении можно считать, что доходы всех потребителей одинаковы. Это предположение справедливо, если речь идет об одной рыночной нише, т.е. производимый продукт ориентирован на определенный слой населения. Отметим, что вместо доходов потребителей S можно использовать их накопления U.

M – оборотные средства предприятия

τ – длительность производственного цикла

p –рыночная цена товара

p̃ – себестоимость продукта, то есть переменные издержки на производство единицы продукции.

δ – доля оборотных средств, идущая на покрытие переменных издержек.

κ– постоянные издержки, которые не зависят от количества выпускаемой продукции.

Q(S/p) – функция спроса, зависящая от отношения дохода S к цене p.Она равна количеству продукта, потребляемого одним потребителем в единицу времени.

Функцию спроса товаров долговременного использования часто представляют в простейшей форме:

,

(1)

где q – максимальная потребность одного человека в продукте в единицу времени. Эта функция падает с ростом цены и при p = p_crпотребители отказываются от приобретения товара. Величина p_cr = Sq / k. Параметр k – мера эластичности функции спроса по цене. Таким образом, функция спроса в форме (1) является пороговой (то есть, Q(S/p) = 0при p ≥ p_cr)и обладает свойствами насыщения.

Уравнения динамики оборотных средств можно записать в виде

.

(2)

Уравнение для рыночной цены pпредставим в виде

.

(3)

Первый член соответствует количеству поставляемого на рынок товара (то есть, предложению), а второй член – спросу.

Параметр γ зависит от скорости оборота товаров на рынке. Как правило, время торгового оборота существенно меньше времени производственного цикла τ. При заданном M уравнение (3)описывает быстрое стремление цены к равновесному значению цены, которое устойчиво.

Согласно теореме Тихонова, уравнение (3) можно заменить алгебраическим соотношением

.

(4)

Из (4) следует, что равновесное значение цены p равно

.

(5)

Уравнение (2) с учетом (5) приобретает вид

(6)

Уравнение (6) имеет два стационарных решения, соответствующих условию dM / dt = 0:

,

(7)

где

.

(8)

Из (7) следует, что при больших постоянных издержках(в случае a² < 4b) стационарных состояний нет. Это означает, что в этих условиях фирма не может функционировать стабильно, то есть, терпит банкротство. Однако, как правило, постоянные затраты малы по сравнению с переменными (то есть, b << a²) и играют роль,только в случае, когда оборотные средства малы. При b << a стационарные значения M равны

(9)

Первое состояние устойчиво и соответствует стабильному функционированию предприятия. Второе состояние неустойчиво, так, что при оборотные средства падают(dM / dt < 0),то есть, фирма идет к банкротству. По смыслу соответствует начальному капиталу, необходимому для входа в рынок.

Значения и совпадают при

.

(10)

Этот набор параметров является бифуркационным. Главную роль здесь играет параметр p̃ – себестоимость продукции. Если она приближается к критической цене, то наступает банкротство.

Согласно (5) и (9) рыночная цена в стационарных (равновесных) условиях равна:

Уместно сделать ряд замечаний.

1. В обсуждаемой модели параметр δ всюду входит в сочетании с τ. Это значит, что уменьшение доли оборотных средств, вкладываемых в производство, эквивалентно удлинению производственного цикла. Поэтому мы в дальнейшем положим: δ = 1,а параметр τ будем считать временем цикла, с учётом сказанного.

2. В модели отсутствует конкуренция, то есть, предприятие является монополистом в своей нише. Принято считать, что монополист может назначить цену исходя из условия максимума прибыли.В принципе, эта цена может отличаться от «рыночной», определяемой уравнением(4).

Обсудим этот вопрос детальнее. Термин «прибыль» (П)обычно понимается как разность между средствами, полученными в результате реализации товара и издержками на его производство, то есть, как прирост величины M за единицу времени.

Согласно (2), прибыль равна

.

(11)

Пусть монополист «назначит» цену pисходя из условия максимума прибыли:

.

(12)

Из (12), с учетом (11), следует

.

(13)

При этой цене, фактически, реализуется максимум выручки. Выражение (13) заменяет уравнение Вальраса (3) для рыночной цены p. При этом должно соблюдаться условие баланса произведенного и проданного товара, то есть,

.

(14)

Сама прибыль Πпри этом равна

.

(15)

При себестоимости p̃ < p_cr/2и κ ≤ nQp_cr прибыль положительна, величина M неограниченно возрастает, и стационарное состояние отсутствует. Обсудим случай, когда себестоимость p̃ > p_cr/2. При этом, согласно (15),происходит падение оборотных средств M, что ведёт к банкротству. С другой стороны, если цена не «диктуется» монополистом, а определяется уравнением Вальраса (3), то, согласно (9), возможно устойчивое стационарное состояние фирмы-монополиста. При этом согласно (5) и (9) рыночная цена устанавливается на уровне

.

Выручка оказывается меньше максимальной, но прибыль не отрицательна, и формально равна нулю.

Таким образом, при низкой себестоимости p̃ и высоком пороге потребления товара p_cr (таком, что p_cr > 2p̃),монополист может назначать цену, исходя из максимума прибыли. При этом материальный баланс на рынке соблюдается, но финансовый баланс не достигается –величина M непрерывно возрастает.

При высокой себестоимости p̃ и низком пороге потребления p_cr(таком, что p_cr < 2p),выгоднее не стремиться к максимальной выручке, а положиться на рыночное ценовое равновесие и существовать стабильно (хотя и с нулевой прибылью).

Подчеркнем, сказанное относится только к товарам долговременного пользования, функция спроса которых имеет ценовой порог p_cr.

Функция спроса на товары первой необходимости не имеет ценового порога. Точнее ценовой порог здесь очень высок (формально, p_cr → ∞) и при любой себестоимости p̃ реализуется вариант p̃ < p̃_cr/2.

3. Как упоминалось, любое предприятие в стационарном состоянии является бесприбыльным по определению (поскольку dM / dt = 0).Обсудим детальнее, что это значит.

В уравнении (2) отсутствует слагаемое, которое описывает затраты владельцев (и/или акционеров) на личные нужды. Эти затраты включают и приобретение ими драгоценностей, ценных бумаг и запасение личных средств.

Эти накопления, вообще говоря, со временем могут измениться,даже если само предприятие работает в стационарном (бесприбыльном) режиме. Они пополняются за счет средств, полученных в результате реализации товара, то есть, играют ту же роль, что и издержки производства на оплату рабочих. Доходы владельцев, и также дивиденды акционеров пропорциональны выручке, и поэтому эти издержки можно отнести к переменным.

Себестоимость продукта p̃ включает и эти издержки.Реально, менеджеры фирмы назначают себе «зарплату» (достаточно высокую), и при этом выполняют функции владельцев, а не рабочих на производстве. Дивиденды акционеров тоже можно назвать «зарплатой» и на деятельности фирмы это не скажется (хотя, для налоговой инспекции такое переименование будет играть роль).

В свете сказанного, удобно разделить себестоимость на две части:

,

(7)

где p̃⁽¹⁾– производственные издержки, включающие затраты на сырьё (и комплектующие),зарплату рабочим (сдельную) и налоги, p̃⁽²⁾ – издержки, включающие выплаты владельцам, «зарплаты» топ-менеджерам и т.п.

Принцип «максимума прибыли следует понимать, как стремление максимизировать величину p̃⁽²⁾. В случае p̃⁽¹⁾ < p_cr/2выгодно «назначить» цену исходя из условия максимума выручки p̃⁽²⁾ так, чтобы p̃ = p̃⁽¹⁾ + p̃⁽²⁾ = p_cr/2.В этом случае рыночные цены, определённые по уравнениям (4) и (11), (12),совпадают и равны p̃ = p_cr/2. Противоречие между принципом Вальраса и принципом максимума прибыли снимается. В случае p̃⁽¹⁾ > p_cr/2,как уже упоминалось, рыночная цена определяется по Вальрасу.

Эти соображения не новы и обсуждались ещё в работе Шумпетера [8].