Системы линейных однородных уравнений.
Если в каждом уравнении правая часть 
, такая система называется однородной.
Расширенная матрица содержит столбец, состоящий только из 0, то есть ранг расширенной матриц точно не больше, чем ранг основной! По теореме Кронекера-Капелли получается, что однородная система всегда совместна, то есть существует хотя бы одно решение.
Заметим, что при подстановке всех 0 вместо неизвестных, 
, все равенства автоматически выполняются, т.е. нулевое решение для такой системы всегда существует. Оно называется тривиальным решением.
Тривиальное решние может быть не единственным, возможно, есть ещё какие-то наборы чисел, которые можно подставить в систему. Основной задачей для однородных систем как раз и является поиск ненулевых решений.
Нетривиальные решения есть, например:
решения (1,1), (2,2), и т.д. Любое (С,С) для 
есть решение.
Здесь ранг равен 1, и 2-я перменная свободная.
А здесь ранг основной матрицы равен 2. 
, базисный минор фактически заполняет всю основную матрицу, до правого края, в этом случае нет свободных переменных. Решение только тривиальное.
Если решать методом Гаусса, то получим 
тогда 
, и отсюда 
.
После приведения к треугольному виду, последняя неизвестная получится 0, за ней и предпоследняя и т.д.
Теорема 1. Однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.
* А если матрица невырожденная, то решение единственно, но поскольку обязательно существует тривиальное, то оно и есть тривиальное (все нули), других решений нет.
Теорема 2. Линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.
Доказательство. Дано 
, 
, тогда 
.
* Для неоднородных систем такой факт был не верен! Там есть лишь более сложный аналог - теорема о наложении решений. Но идея доказательства похожая: если в той теореме 
и 
- нулевые векторы, получим эту теорему.
Теорема 3. Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.
Доказательство.Пусть 
решение неоднородной системы, 
- решение соответствующей однородной системы (с той же основной матрицей, но 0 в правой части).
, , тогда 
.
Следствие. Разность двух различных частных решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы.
Геометрический смысл. Если взять разность двух радиус-векторов, проведённых к точке какой-либо прямой, не проходящей через начало координат, получится вектор, лежащий на параллельной прямой, проходящей через начало координат.
Теорема 4. Пусть дана однородная система с 
неизвестными, ранг основной матрицы равен 
. Тогда существует 
линейно-независимых решений однородной системы, и всякое другое решение есть их линейная комбинация.
Определение. Данная система, состоящая из линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.
Пример. (r=2, n=4). 
базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. 
. 
уже выражено: 
, подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и 
.
, 
.
Общее решение: { , }.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.
, получим 
, получим 
.
Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы. В этом примере 
, 
.
* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа 
. А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.
ЛЕКЦИЯ № 5. 30. 09. 2016