Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Вопросы по курсу.

1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Какие числа записываются десятичными периодическими дробями? Какие – десятичными бесконечными непериодическими дробями? Представить в виде обыкновенной дроби число 0,2(54). Изображение действительных чисел на прямой. Плотность множества действительных чисел. Счётные и несчётные множества. Парадокс континуума. Какое множество содержит больше точек: отрезок [0; 1] или отрезок [0; 2]?
2. Модуль числа. Геометрический смысл модуля. Неравенства, содержащие модуль. Решить неравенства < 1, > 5.

3. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия над комплексными числами. Вычислить: . Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль комплексного числа. Верно ли, что модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению модулей этих чисел? Ответ проиллюстрировать на примере приведённого выше числа.

4. Полярная система координат на плоскости. Переход от полярных координат к прямоугольным и наоборот. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа в тригонометрической форме. Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел в тригонометрической форме. Вычислить, используя тригонометрическую форму: (1 + i ) ^{– 5}. Найти все значения . Сколько значений принимает радикал п-й степени из комплексного числа? Каков геометрический смысл такого радикала? Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

5. Функция. Область определения функции. Множество значений функции. Возрастание, убывание функции. Периодичность функции. Обратная функция. Для всякой ли функции существует обратная функция? Каково достаточное условие обратимости функции? Как ведут себя графики двух взаимно-обратных функций?
6. Основные элементарные функции. Алгебраические и трансцендентные функции. Степеннаяфункция, её частные случаи и графики. Построить график функции
у = 2(х – 1) + 3.

7. Показательная функция и её график. Что можно сказать о характере монотонности показательной функции? От чего он зависит? Построить график функции у = .

8. Определение логарифма. Основные свойства логарифма.
Вычислить: .

9. Логарифмическая функция, её взаимосвязь с показательной функцией. График логарифма. Построить график функции у = .

10. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Определение тригонометрических функций с помощью единичной окружности. Основное тригонометрическое тождество и его следствия. Формулы суммы, разности синусов, косинусов; синуса, косинуса суммы, разности; двойного аргумента; половинного аргумента. Решить задачу: Известно, что ctg 2 = ,

0 < < . Найти cos ² .

11. Функция у = sin x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = cos x и её основные свойства. Как можно получить график косинуса из графика синуса?
12. Функция у = tg x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = ctg x и её основные свойства.
13. Определение обратных тригонометрических величин с помощью теоремы о существовании обратной функции и теоремы о графиках взаимно-обратных функций. Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Вычислить: cos (arctg 0,75) + ctg (arcсos (-0,96)).

14. Преобразования графиков: смещение вдоль осей, деформация (растяжение-сжатие) вдоль осей, зеркальный поворот относительно осей. Построить график функции
у = - 2 .

15. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Уравнение окружности. Решить задачу:
Построить кривую х ² + у ² – 8х + 6у – 11 = 0.

16. Эллипс и его характеристики. Решить задачу:
Построить кривую х ² + 4у ² – 6х + 8у – 3 = 0.
17. Гипербола и её характеристики. Решить задачу:
Построить кривую 16х ² – 9у ² – 64х + 54у – 161 = 0.

18. Парабола и её характеристики. Решить задачу:
Построить кривую х ² + 4х + 2у + 4 = 0.

19. Числовая последовательность. Рекуррентный способ задания последовательности (проиллюстрировать на примере последовательности Фибоначчи из задачи о размножении кроликов). Ограниченность и неограниченность последовательности. Монотонные последовательности.
20. Предел последовательности. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001. Геометрический смысл предела последовательности.
21. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (определение на языке неравенств). Какова связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями? Теорема о связи между последовательностью, её пределом и бесконечно малой. Арифметические свойства пределов.

22. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель и знаменатель дроби представляют собой степенные выражения? Проиллюстрировать приём на примере .

23. Как раскрывается неопределённость вида ( ) с иррациональными выражениями? Проиллюстрировать приём на примере . Можно ли утверждать, что ( ) = 0? Ответ проиллюстрировать на контрпримере .

24. Определение предела функции (по Коши). Доказать, что = - 1. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,02. Геометрический смысл предела функции. Бесконечный предел функции (определение на языке неравенств).

25. Определение предела функции (по Гейне). Доказать, что функция sin x не имеет предела при стремлении х к .

26. Теорема Безу о разложении многочлена на множители. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель и знаменатель представляют собой многочлены? Проиллюстрировать приём на примере .
27. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель или знаменатель содержат иррациональные выражения? Проиллюстрировать приём на примере .

28. Первый замечательный предел и его следствия. Вычислить .

29. Второй замечательный предел и его следствия. Вычислить .

30. Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Сравнить функции
(х) = х sin х и (х) = е ^х – 1 при х → 0.

31. Эквивалентные бесконечно малые величины. Основные эквивалентности. Проиллюстрировать применение эквивалентности на примере вычисления
.
32. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва и их классификация. Исследовать на непрерывность функции у = , у = , у = . Построить графики этих функций.

33. Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференци-руемость функции на промежутке. Механический и экономический смыслы производной.
34. Бином Ньютона. Вывод формул производных степенной функции у = х ^п при п N, функций у = sin x, y = e ^x, y = ln x. Формула производной функции y = cos x.

35. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Вывод формул производных функций у = а ^х, у = log _а х, у = tg x, y = ctg x, у = х ^α (α R).

36. Производная обратной функции. Вывести формулы производных функций у = ln x,
у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

37. Логарифмическое дифференцирование. Проиллюстрировать приём на примере вычисления производной степенно-показательной функции у = х ^х.

38. Проиллюстрировать приём вычисления производной неявной функции на примере
равенства ух + log ₂ (x ² + y ²) – sin (xy) = 0.

39. Производные высших порядков. Найти производные п-го порядка функций у = sin x,
y = ln x.

40. Главная часть бесконечно малой функции. Определение дифференциала функции. Формула дифференциала. Вывод формулы для приближённого вычисления функции через её дифференциал. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления
arctg 0,97.

41. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере .

42. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере .

43. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённости вида (0 )? Проиллюстрировать приём на примере .

44. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённостей степенно-показательного вида? Проиллюстрировать приём на примере .

45. Секущая и касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Решить задачу: Составить уравнение касательной к графику функции у = х ² + 2 в точке х ₀ = 1.

46. Угол между кривыми. Построить кривые 2у =х ² и 2у = 8 – х ². Какого они типа? Найти углы между ними.

47. Признаки монотонности функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Определить интервалы монотонности функции
у = х ³ – 6х ² – 15х + 2.

48. Точки максимума и минимума функции. Каково обобщающее название максимума и минимума? Необходимое условие экстремума функции. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х ³ и точки
х = 0. Чем для функции является точка, в которой выполняется необходимое условие экстремума? Какая точка называется критической для функции? Достаточные условия экстремума функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Найти экстремумы функции у = х .
49. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Определить интервалы выпуклости графика функции у = 0,5х ³ + 3х ² – 18х + 20.

50. Точка перегиба кривой. Необходимое условие точки перегиба. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х ⁴ и точки
х = 0. Какая точка называется критической 2-го порядка для функции? Достаточное условие точки перегиба. Найти точки перегиба графика функции
у = х ⁴ + 2х ³ – 12х ² – 5х + 2.

51. Как исследуется поведение функции вблизи границ области её определения? Проиллюстрировать приём на примере функции у = .

52. Асимптота кривой. В каком случае график функции у = f (x) имеет вертикальную асимптоту? Формулы параметров наклонной асимптоты графика функции у = f (x). Найти асимптоты кривой у = .

53. Как отыскать точки пересечения графика функции у = f (x) с осями координат? Проиллюстрировать приём на примере функции у = log ₂ (4 – x ²). Сколько общих точек может иметь график функции у = f (x) с осью Оу? С осью Ох?

54. Общая схема исследования функции у = f (x). Исследовать функцию у =
и построить её график.

55. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решить задачу: Издержки производства некоторого товара равны ТС = 4 + 15Q; спрос на товар определяется функцией Р = - Q ² + 20Q + 2; 10 ≤ Q ≤ 20. Найти объём продукции Q , максимизирующий прибыль.

56. Функция многих переменных. Множество какой размерности представляет собой область определения функции z = ? Изобразить эту область графически. Каково множество значений этой функции? Каковы линии уровня этой функции?

57. Частные производные функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Что можно сказать о смешанных частных производных по выбранным переменным с разным порядком дифференцирования? Найти все вторые частные производные от функции u = sin .

58. Дифференциал функции многих переменных. Дифференциалы высших порядков. Записать дифференциал 2-го порядка от функции z = 3х ² + 2ху ² – 4ху + х ²у – у ³. Что представляет собой дифференциал 2-го порядка с точки зрения линейной алгебры?

59. Приращение функции многих переменных. Связь между приращением и дифференциалом. Формула приближённого вычисления функции через дифференциал.
Проиллюстрировать приближённое вычисление на примере выражения 3,01 ^2,03.
60. Производная по направлению. Вычислить производную функции
z = x ² + xy + y ² + 2x + 2y в точке М (1; 1) по направлению вектора l= (3; 4).
61. Градиент. Каков геометрический смысл градиента функции трёх переменных? Найти градиент функции u = x ² + 3xy ² – z ³y в точке М (- 2; 3; - 1).

62. Точки максимума, минимума функции п переменных. Каково обобщающее название для этих точек? Что собой представляет п-мерный шар? Каковы необходимые условия экстремума функции п переменных? Как называются точки, удовлетворяющие этим условиям? Достаточны ли эти условия для экстремальности? Каковы достаточные условия для существования экстремума у дважды дифференцируемой функции п переменных?
63. Схема исследования функции многих переменных на локальный экстремум. Проиллюстрировать алгоритм отыскания экстремумов на примере функции
u = 2x ² – xy + 2xz – y + y ³ + z ².
64. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = на круге радиуса 1, с центром в точке (0; 0).

65. Условный экстремум. Является ли условный экстремум функции её локальным экстремумом? Метод исключения части переменных. Проиллюстрировать метод на примере функции u = x + y + z ² при условиях связи {z – x = 1, y – xz = 1}.

66. Первообразная. Общее свойство первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Таблица простейших интегралов.
Найти интеграл .
67. Метод замены переменной при интегрировании. Проиллюстрировать метод на

примере интеграла .

68. Интегрирование по частям. Проиллюстрировать метод на примере интеграла .

69. Циклическое интегрирование. Проиллюстрировать на примере интеграла .

70. Алгоритм интегрирования рациональных дробей. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

71. Интегрирование рациональных дробей со знаменателем, не разложимым на линейные множители. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

72. Интегрирование рациональных дробей с кратными действительными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла .
73. Интегрирование рациональных дробей с кратными комплексными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла .

74. Понижение степени при интегрировании тригонометрических выражений. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

75. Интегрирование произведений синусов и косинусов. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

76. Универсальная тригонометрическая подстановка. Проиллюстрировать её применение при интегрировании на примере интеграла .

77. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а ² – х ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

78. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а ² + х ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

79. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида х ² – а ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

80. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычислить .

81. Замена переменных в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .
82. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём

на примере интеграла .

83. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Вычислить .
84. Несобственные интегралы от функций, неограниченных на отрезке интегрирования. Сходится ли интеграл ? Какой результат дало бы формальное применение формулы Ньютона-Лейбница?

85. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления фигуры, ограниченной линиями у = , у = х ².
86. Вычисление объёма тела вращения. Проиллюстрировать формулу на примере
вычисления объёма тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ² = 9х, у = 3х.
87. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Решение дифференциального уравнения. Является ли функция у = решением уравнения у ^“ + y y ^‘ = 0 ?

Является ли она общим решением? Что собой представляет интегральная кривая рассмотренного уравнения? Построить её. Как превратить решение в интеграл уравнения?
88. Проиллюстрировать алгоритм составления дифференциального уравнения заданного семейства кривых на примере функции у = С ₁е ^2х + С ₂е ^{– х}. Каков тип составленного уравнения? Решить задачу Коши с начальными условиями
у (0) = 1, у ^‘ (0) = - 1.

89. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Проиллюстриро-вать приём интегрирования на примере уравнения (х ² – 1) у ^‘ + 2ху ² = 0. Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую.
90. Однородные функции. Привести пример какой-нибудь однородной функции 3-го порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ^‘ = . Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Возможна ли в данном случае запись в виде решения?

91. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Проиллюстрировать метод вариации произвольной постоянной при интегрировании линейного уравнения на примере у ^‘ - у = 2х ³. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли линейного уравнения возможна запись общего решения?
92. Проиллюстрировать метод замены искомой функции произведением двух функций при интегрировании линейного уравнения на примере у ^‘ + у tg х = . Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую.
93. Дифференциальное уравнение Бернулли. Проиллюстрировать метод подстановки при интегрировании на примере уравнения у ^‘ + у = у ²х. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли уравнения Бернулли возможна запись общего решения? Какими методами ещё можно
проинтегрировать уравнение Бернулли?
94. Уравнение в форме дифференциалов. Критерий уравнения в полных дифференци-алах. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения
2х cos ²у dx + (2y – x ²sin 2y) dy = 0. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл?

95. Уравнения высших порядков, не содержащие явно искомой функции и её первых производных. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения
х ²у ^‘’ + ху ^‘ = 1. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Сколько в записи произвольных постоянных?
96. Уравнения высших порядков, не содержащие явно независимой переменной. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ^‘’ + 2 y y ^‘ = 0
с начальными условиями у (0) = 2, y ^‘ (0) = - 4. Возможно ли отыскание общего решения приведённого уравнения, без привлечения начальных условий задачи Коши?
97. Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение, соответствующие линейному однородному д.у. Проиллюстрировать зависи-
мость вида общего решения линейного однородного д.у. от корней характеристичес-кого многочлена на примере уравнений: у ^‘’’ – 2y ^“ – y ^‘ + 2y = 0, у ^‘’’ – 4y ^“ + 6y ^‘ - 4y = 0,
у ^‘’’ – 5y ^“ + 8y ^‘ - 4y = 0, y ^“” + 4у ^‘’’ + 8y ^“ + 8y ^‘ + 4y = 0.
98. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами. Проиллюстрировать метод вариации произвольных постоянных при интегрировании линейного неоднородного д.у. на примере уравнения
у ^‘’’ – 6y ^“ + 9y ^‘ = х е ^3х.
99. Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Используя определе-ние сходимости, исследовать геометрический ряд . Свойства сходящихся рядов.
100. Необходимый признак сходимости числового ряда. Что можно сказать о сходимости ряда, общий член которого не стремится к нулю? В качестве иллюстрации к ответу придумать какой-нибудь ряд с конкретной формулой общего члена. Носит ли необходимый признак достаточный характер? Ответ проиллюстри-ровать на контрпримере гармонического ряда .

101. Признак сравнения для знакоположительных рядов. Проиллюстрировать его применение на примере ряда , предварительно вычислив сумму ряда .
102. Предельный признак сравнения для знакоположительных рядов. Проиллюстриро-вать его применение на примере ряда . Каков подобранный эталонный ряд?
103. Признак Даламбера. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Для всякого ли знакоположительного ряда можно применить признак Даламбера или имеется ограничение его возможностей?
104. Признак Коши. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Для всякого ли знакоположительного ряда можно применить признак Коши или имеется ограничение его возможностей?
105. Интегральный признак Коши-Маклорена. Проиллюстрировать его применение на примере обобщённого гармонического ряда .
106. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Насколько существенно в этом признаке монотонное убывание модулей членов ряда? Ответ проиллюстрировать на контрпримере ряда
.
107. Что можно сказать о величине отброшенного остатка знакочередующегося лейбницевского ряда? Какое число членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
108. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Можно ли переставлять местами члены абсолютно сходящегося ряда? члены условно сходящегося ряда? Ответ проиллюстрировать на контрпримере ряда , перегруппировав его члены определённым образом. Теорема Римана.
109. Степенные ряды. Теорема Абеля. Какова структура области сходимости степенного ряда? Какой признак сходимости числового ряда позволяет получить
формулу для радиуса сходимости степенного ряда? Проиллюстрировать алгоритм
отыскания области сходимости степенного ряда на примере .
110. Ряд Тейлора. Разложить функцию f (х) = х ² – х + 2 + ln (х – 2) в степенной ряд
в окрестности точки х ₀ = 3.
111. Ряд Маклорена. Разложения в ряд Маклорена функций е ^х, sin x, cos x, ln (1 + x),
(1+ х) ^т. Разложить функцию f (х) = ln в ряд Маклорена.
112. Почленное дифференцирование степенного ряда. Проиллюстрировать приём на
примере суммирования ряда .
113. Почленное интегрирование степенного ряда. Проиллюстрировать приём на примере разложения в ряд функции f (х) = arctg x с предварительным разложением
в биномиальный ряд Маклорена функции .
114. Применяя ряд Маклорена, вычислить sin 20⁰ с точностью до 0,0001.

Виды самостоятельной работы: аудиторная работа на практических занятиях (еженедельно), домашняя работа (еженедельно), контрольные работы (2 за весь модуль).

Задания для практических занятий: