Скалярное произведение векторов

О.Скалярное произведение двух векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru – число, равное произведению их модулей на Скалярное произведение векторов - student2.ru угла между ними. Скалярное произведение векторов - student2.ru

Св-ва:

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru тогда и только тогда, когда Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru угла между векторами вычисляется по ф-ле: Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Т. Если векторы имеют координаты Скалярное произведение векторов - student2.ru ; Скалярное произведение векторов - student2.ru , тогда Скалярное произведение векторов - student2.ru

Правые и левые с-мы координат.

Три некомпланарных вектора Скалярное произведение векторов - student2.ru в указанном порядке наз-ют тройкой векторов.

Скалярное произведение векторов - student2.ru Пусть Скалярное произведение векторов - student2.ru отложены из одной точки, будем смотреть из конца вектора Скалярное произведение векторов - student2.ru на плоскость, содержащую Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru . Если кратчайший поворот от Скалярное произведение векторов - student2.ru к Скалярное произведение векторов - student2.ru осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru наз правой тройкой, если по часовой-то левой.

Векторное произведение векторов.

О. Векторным произведением Скалярное произведение векторов - student2.ru на Скалярное произведение векторов - student2.ru наз Скалярное произведение векторов - student2.ru , к-рый удовлетворяет след. условиям:

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru каждому из векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru

тройка векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru

Св-ва:

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru -коллинеарны только тогда, когда Скалярное произведение векторов - student2.ru =0

площадь параллелограмма, построенного на векторах Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru = модулю векторного произведения Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Т. Пусть Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru , тогда Скалярное произведение векторов - student2.ru

Разложим Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru по базисным векторам Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru = Скалярное произведение векторов - student2.ru

x i j k
i Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru
j Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru
k Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru

Смешанное произведение

Пусть даны 3 вектора Скалярное произведение векторов - student2.ru . Умножим Скалярное произведение векторов - student2.ru векторно, а полученный р-т скалярно на Скалярное произведение векторов - student2.ru . В р-те получим число Скалярное произведение векторов - student2.ru , называемое смешанным произведением векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru .

Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов Скалярное произведение векторов - student2.ru равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если тройка Скалярное произведение векторов - student2.ru правая и со знаком «-« - если правая.

Следствие. Скалярное произведение векторов - student2.ru компланарны только тогда, когда их смешанное произведение =0.

Т. Пусть Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru , тогда Скалярное произведение векторов - student2.ru

Вопрос №12. Плоскость в пространстве.

Ур-ние плоскости по точке и норм. вектору.

Скалярное произведение векторов - student2.ru Пусть дана точка Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru плоскости. Пусть Скалярное произведение векторов - student2.ru -произвольная точка плоскости. Рассм. вектор Скалярное произведение векторов - student2.ru

Скалярное произведение векторов - student2.ru (1) Скалярное произведение векторов - student2.ru Þ Скалярное произведение векторов - student2.ru (2)

(1)-ур-ние по точке и нормальному вектору, (2)-общее ур-ние плоскости.

Частные случаи:1)если Скалярное произведение векторов - student2.ru , то плоскость проходит через начало координат

2)если Скалярное произведение векторов - student2.ru , тогда Скалярное произведение векторов - student2.ru оси Скалярное произведение векторов - student2.ru . След-но плоскость параллельна оси Скалярное произведение векторов - student2.ru

3) Скалярное произведение векторов - student2.ru плоскость проходит через ось Скалярное произведение векторов - student2.ru

4) Скалярное произведение векторов - student2.ru плоскость параллельна плоскости Скалярное произведение векторов - student2.ru

5) Скалярное произведение векторов - student2.ru плоскость определяет координатную плоскость Скалярное произведение векторов - student2.ru

Ур-ние плоскости, проходящей через 3 данные точки

Скалярное произведение векторов - student2.ru Рассм. 3 точки, не лежащие на одной прямой Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru . Рассм. произвольную точку Скалярное произведение векторов - student2.ru , лежащую в этой плоскости. Рассм. Скалярное произведение векторов - student2.ru .

Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru

т.к. Скалярное произведение векторов - student2.ru компланарны, то их смешанное произведение =0, т.е. Скалярное произведение векторов - student2.ru - ур-ние плоскости по 3 точкам.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть даны 2 плоскости Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru 1-ая плоскость имеет Скалярное произведение векторов - student2.ru , Скалярное произведение векторов - student2.ru . Если плоскости параллельны, то Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru коллинеарны. Поэтому Скалярное произведение векторов - student2.ru – условие параллельности плоскостей. Скалярное произведение векторов - student2.ru –условие совпадения плоскостей.Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности ^ плоскостей равносильна ^ их нормальных векторов.

Скалярное произведение векторов - student2.ru - условие перпендикулярности.

Наши рекомендации