Арианты заданий для закрепления. 2. Теоретические сведения:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Контрольные вопросы:

1.1. Что называется

2. Теоретические сведения:

Операторы символьной математики

Приведем два примера на применение операторов символьной математики(в среде MATHCAD более 20 операторов):

Solve (решить) для решения уравнений и неравенств

Simplify(упростить) для преобразования алгебраических выражений

.

Заметим, что в решении неравенств квадратные скобки представляют объединение промежутков, а произведение неравенств – пересечение промежутков.

Операторы программирования

орядок выполнения работы

1. Ответить на контрольные вопросы.

2. Проанализировать и выполнить в приложении MATHCAD следующие примеры

Пример 1

Дана система линейных алгебраических уравнений

.

.

Найти:

1) решение системы методом Гаусса (используя функцию rref());

2) определитель матрицы системы и определители , , ;

3) решение системы по формулам Крамера;

4) обратную матрицу А^-1 (проверить А^-1А=Е и АА^-1=Е);

5) решение системы по формуле Х=А^-1b «матричный метод»;

6) решение системы с помощью функции lsolve(A,b),которая возвращает вектор решения системы линейных уравнений;

7) решение системы с помощью блока решения given … find()– дано … найти.

Решение

1) Решение системы методом Гаусса – условно названное решение системы с применением функции rref(А_b)).

С помощью функции augment(A,b) образуется расширенная матрица системы линейных уравнений, далее функция rref(А_b) возвращает матрицу, эквивалентную исходной, где матрица системы оказывается приведенной к единичной матрице. Последний четвертый столбец матрицы A_reduced – решение системы линейных уравнений.

ORIGIN:=1

A_b:=augment(A,b) A_reduced:= rref(А_b)

A_reduced = x:= A_reduced x=

2) Вычисление определителей матрицы системы и определители , , :

А₁:=А А₂:=А А₃:=А

А₁ :=b А₂ :=b А₃ :=b

:=|A| :=|A₁| :=|A₂| :=|A₃|

3) Решение системы по формулам Крамера:

x=

4) Вычисление обратной матрицы А^-1:

А^-1·A= A ·А^-1 =

Представление элементов в виде дробей можно получить, выделив и установив числовой формат Format Result Fraction.

5) Решение системы по формуле Х=А^-1b «матричный метод»:

Х:=А^-1·b x=

6) Решение системы с помощью функции lsolve(A,b):

Х:=lsolve(A,b) x=

7) Решение системы с помощью блока решения given … find()

Вводится матрица системы линейных уравнений А, столбец свободных членов b и вектор-столбец из нулевых(можно задавать любые значения) стартовых значений искомого решения. Далее given система уравнений Ах=b найти х (find(х)) – для условия равенства в блоке следует нажимать Ctrl+=:

ORIGIN:=1

Given

А·х=b

x:= find(x)x=

Пример 2

Найти все решения системы линейных алгебраических уравнений

В этом примере система имеет не единственное решение и дается представление множества решений.

Решение

Функция rref(А_b), аргументом которой является расширенная матрица системы линейных уравнений, возвращает матрицу A_reduced ступенчатого вида, эквивалентную исходной, с двумя нулевыми строчками:

ORIGIN:=1

A_b:=augment(A,b)

A_reduced:=rref(А_b)

A_reduced =

Данная система уравнений оказалась эквивалентна системе из двух уравнений с четырьмя неизвестными

Неизвестные х₁ и х₃ являются главными(базисными) переменными, неизвестные х₂ и х₄ являются свободными.

Решение неоднородного уравнения равно сумме частного решения уравнения при нулевых значения свободных переменных (х₂ =0 и х₄ =0 ) и общего решения однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения является линейной комбинацией фундаментальных решений – базиса решения. В данном примере имеем два фундаментальных решения: одно – частное решение однородного уравнения, когда х₂=1 и х₄=0; другое частное решение, когда х₂=0 и х₄=1:

Частное решение неоднородного уравнения (вектор х₀) при нулевых значениях свободных переменных. Стартовый вектор х – нулевой вектор.

Given

А·х=b

х₂=0

х₄ =0

х₀:=Find(x)

Частное решение однородного уравнения (вектор х₁)

Given

А·х=b

х₂=1

х₄ =0

х₁:=Find(x)

Частное решение однородного уравнения (вектор х₂)

Given

А·х=b

х₂=0

х₄ =1

х₁:=Find(x)

Таким образом, получили решение данной системы уравнений в виде:

x(t):=x₀+t₁·x₁+ t₂·x₂ , или

При любых значениях параметров t₁ и t₂ вектор x(t) удовлетворяет исходной системе уравнений; значения параметров выбраны с помощью функции rnd(x), генерирующей числа из промежутка (0,х):

Пример 3

Найти все решения системы линейных алгебраических уравнений

Решение

Функцияrref(А_b), возвращает матрицу A_reduced, в одной строке которой элемент последнего столбца равен 1 с предшествующими нулевыми элементами. Этой строке соответствует противоречивое уравнение

0·x₁+ 0·x₂ + 0·x₃ + 0·x₄ =1

ORIGIN:=1

A_b:=augment(A,b)

A_reduced:=rref(А_b)

A_reduced =

В этом случае система уравнений не имеет решения.

арианты заданий для закрепления

Вариант 1.

1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера и найти обратную матрицу матрице коэффициентов системы:

2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом:

3. Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4. В таблице приводятся данные, характеризующие число деталей D₁, D₂ и D₃, необходимых для изготовления единицы товаров А, В, и С:

Наименование товара	5. Тип изделий
D1	D2	D3
А
В
С

Определить общее число деталей, необходимых для производства 103 единиц товара А, 57 – товара В, 176 – товара С.

Вариант 2.

1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера и найти обратную матрицу матрице коэффициентов системы:

2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом:

3. Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4. Найти расчетные объемы работ (число часов использования оборудования), которые окупят затраты на эксплуатацию, если расценки на проведение соответствующих работ указаны в таблице:

Виды работ	Нормативы по видам оборудования (число часов)	Полные затраты на эксплуатацию
механическое	тепловое	энергетическое
Техническое обслуживание
Текущие услуги
Капитальный ремонт

Вариант 3.

1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и найти обратную матрицу матрице коэффициентов системы:

2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом:

3. Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4. Определить общее число деталей, необходимых для производства 452 изделий И₁, 245 изделий И₂ и 171 изделий И₃, если число деталей, необходимых для изготовления одного изделия трех типов, приведено в таблице:

Тип изделия	Тип детали
D1	D2	D3
И1
И2
И3

Вариант 4.

1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и найти обратную матрицу матрице коэффициентов системы:

2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом:

3. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4. Расценки на проведение работ для каждого вида услуг приведены в таблице:

Виды работ	Нормативы по видам оборудования (число часов)	Полные затраты на услуги
механическое	тепловое	энергетическое
Техническое обслуживание
Транспортные услуги
Капитальный ремонт

Найти расчетные объемы работ (число часов использования оборудования), которые смогут окупить затраты на услуги.

5. Домашнее задание

[1] cтр. 205-216

итература

1. В.И.Ракитин. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. Москва. ФИЗМАТЛИТ, 2005.

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии естественно-математических дисциплин, Протокол №__ от «___»_______2007   Председатель ЦК____________ И.В.Воробьева

Преподаватель Клименко Д.Ф.