Стохастические колебания пластин

Решение (1.1) – (1.4) представляют в виде разложения по формам собственных колебаний W_mn(x,y):

(2.22)

Функции W_mn(x,y) удовлетворяют однородное уравнение:

(2.23)

а также краевые условия на контуре пластин. Здесь ω_mn – частоты собственных незатухающих колебаний.

Подстановка в (2.22) приводит к уравненниям:

(2.24)

В уравнениях (2.24) введено члены, которые имеют производные f ^/_mn(t) и учитывают угасание [7,8]; коэффициенты угасания ε_mn в общем случае считаются разными [5].

Через обозначены обобщенные силы:

(2.25)

- норма собственной функции W_mn(x,y). (2.26)

Соответственно [1] при ε_mn<<1 побочные элементы матрицы малые в сравнении с главными, а для остальных справедлива приближенная формула:

(2.27)

Для вычисления собственных частот при краевых условиях жесткого защемления используется асимптотический метод.

Метод основан на представлении решений в виде сумы некоторого решения и решений, которые удовлетворяют краевым условиям. Асимптотические выражения для собственных функций находят путем склеивания решений, которые найдены для каждого края области. Погрешность такого склеивания быстро падает с ростом номера функции (волнового числа).

Придерживаясь асимптотического метода, ищут внутреннее решение в виде:

(2.28)

где k_xm и k_yn – неизвестные волновые числа, x₀ и y₀ – фазы породного решения. Это выражение соответствует частоте:

(2.29)

Частное решение (2.28) краевым условиям не удовлетворяет. Приближенное решение задачи ищут, рассматривая выражение (2.28) как некоторое порождающее решение, которое справедливо во внутренней области, то есть, достаточно удаленной от краев. Задача будет решена, если окажется возможным построение частных решений, каждое из которых будет удовлетворять два краевых условия на одном из краев пластины и будет приближаться к порожденному решению в меру отдаления от краев.

Решение, которое удовлетворяет краевым условиям при x=0 ищут в виде:

(2.30)

Подстановка выражения (2.30) приводит к уравнению:

(2.31)

общий интеграл которого имеет вид:

(2.32)

Мнимые корни уравнения (2.31) соответствуют порождающему решению (2.28), действительные корни – решениям, которые удовлетворяют краевым условиям. Таким образом, в пластинах всегда имеет место динамичный краевой эффект.

Поставим условие, чтобы решение (2.32) стремилось при х→∞ к порождающему решению (2.28).

Это условие будет удовлетворено, если отбросить в интеграле (2.32) член, который возрастает при увеличении x:

(2.33)

Среди членов, которые остались в (2.33), два первых полностью соответствуют порожденному решению (2.28), а первые три члена рассмотренные вместе

(2.34)

описывают динамический эффект у приграничной зоне.

Удовлетворяя краевые условия при х = 0, имеют:

(2.35)

Решение, которое удовлетворяет краевым условиям про х = а, ищут в виде:

(2.36)

Определив константы в формуле (2.36), окончательно получают:

(2.37)

Решения, которые удовлетворяют краевым условиям при у = 0 и у =b и приближаются к решению во внутренней области пластинки, записываются аналогично. Таким образом, выражение для защемленной пластины имеет вид:

(2.38)

Волновые числа k_xm и k_ym находятся путем склеивания решений, которые удовлетворяют краевые условия на противоположных сторонах контура пластины. Решения (2.31) з учетом (2.36) и (2.37), которые удовлетворяют краевым условиям при х = 0 и х = а , приближаются к внутренней области к одному и тому породному решению.

Будем требовать в соответствии с этим выполнение условия:

sin k_xm(x-x₀)sin k_yn(y-y₀)=±sin k_xm(a-x-x₀)sin k_yn(y-y₀) (2.39)

Положительный знак соответствует симметричным относительно точки х=а/2 решениям. Система уравнений для определения волновых чисел имеет вид:

;

(2.40)

Отклонение функции W_mn(x,y) от действительных колебаний, а также и погрешность определения обобщенных сил асимптотично уменьшаются с ростом m и n .